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% Author: Alain Lascoux, dated 2013-09-24.
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\author{Alain Lascoux}
\date{2013-09-24}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{\textit{\Huge Plaidoyer pour l'Alg\`ebre Moderne}}
\end{center}

\bigskip

Depuis un demi-si\`ecle, le champ des math\'ematiques s'est fortement \'etendu. Grande aurait \'et\'e la perplexit\'e du comit\'e d'examen des candidatures \`a la m\'edaille Fieds si un troll avait en 1960 remplac\'e les dossiers par ceux de 2014~! Or les math\'ematiques sont une des rares sciences dites exactes o\`u des \'ecrits vieux de plusieurs si\`ecles gardent un int\'eret scientifique et pas seulement historique.

Par exemple, les polyn\^omes en une variable apparaissent dans les travaux de Vi\`ete. De nombreux outils alg\'ebriques et analytiques, diff\'erentes familles de polyn\^omes orthogonaux, de polyn\^omes d'interpolation ont \'et\'e ensuite d\'evelopp\'es, qui permettent un calcul unidimensionnel.

Qui dit ``polyn\^ome en une variable'' dit aussi ``fonctions sym\'etriques'' des racines de ce polyn\^ome. D\`es 1629, Girard~:

\begin{center}
\textit{Invention nouvelle en l'Alg\`ebre, tant pour la solution des \'equations, que pour recognoitre le nombre des solutions qu'elles re\c{c}oivent, avec plusieurs choses qui sont n\'ecessaires \`a la perfection de cette divine science}, Amsterdam (1629).
\end{center}
\noindent se pose la question d'exprimer les sommes de puissance en terme des coefficients du polyn\^ome, i.e. en terme des fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires des racines. Le premier chap\^itre du livre de Macdonald t\'emoigne de ce que ce sujet, \textit{les changements de base de fonction sym\'etriques}, est rest\'e actif depuis lors. En fait, il existe une base privil\'egi\'ee, \textit{les fonctions de Schur}. La majorit\'e des probl\`emes de fonctions sym\'etriques les font intervenir, ainsi que les objets combinatoires associ\'es, \textit{partitions, diagrammes de Ferrers, tableaux de Young}.

On peut donc estimer que l'on dispose, dans le cas des polyn\^omes d'une variable, ou des polyn\^omes sym\'etriques, d'une ``bo\^ite \`a outils'' satisfaisante.

Rien de tel d\`es que l'on abandonne la sym\'etrie. Certes, il existe des polyn\^omes orthogonaux multivari\'es, des bases de Gr\"obner, \&c., mais quand est-il des analogues d'une question \'el\'ementaire telle que
\begin{center}
\textit{exprimer telle fonction sym\'etrique dans la base des fonctions de Schur}
\end{center}
\noindent qui intervient dans une bonne partie de la th\'eorie classiques des fonctions sym\'etriques~?

Et tout d'abord, que sont les \textit{fonctions de Schur non sym\'etriques}~?

Pour pouvoir effectuer des changements de base, il faut au moins deux bases~! Le prob\`eme se pose m\^eme en amont~: \textit{de quels outils alg\'ebriques} sur les polyn\^omes dispose-t-on~? A ce niveau, il est instructif de constater que pour Maple et Mathematica, un polyn\^ome en $x_{1},\ldots, x_{n}$ est un polyn\^ome en $x_{1}$ \`a coefficients en $x_{2},\ldots, x_{n}$. Dans le cas des polyn\^omes sym\'etriques, on voit bien qu'une telle structure est insuffisante.

Or, depuis Newton, on sait ``m\'elanger les variables''. Pour chaque paire $x_i,x_{i+1}$ de variables cons\'ecutives, Newton d\'efinit une \textit{diff\'erence divis\'ee} $\partial _i$ (not\'ee \`a droite) par
\begin{displaymath}
f \to f\, \partial _i= \frac{f-f^{s_i}}{x_i - x_{i+1}} \, ,
\end{displaymath}
o\`u $s_i$ est la transposition qui \'echange $x_i,x_{i+1}$.

Les diff\'erences divis\'ees ont pour cas limite le calcul diff\'erentiel usuel, mais satisfont, par rapport \`a ce dernier, deux propri\'et\'es essentielles~:

\begin{itemize}
\item elles satisfont les \textit{relations de tresse} $\partial _{i}\partial _{i+1}\partial _i =\partial _{i+1}\partial _i\partial _{i+1}$
\item Chaque diff\'erence divis\'ee $\partial _{i}$ commute avec la multiplication par les fonctions sym\'etriques en $x_i,x_{i+1}$.
\end{itemize}

\noindent En cons\'equence, les $\partial _{i}$ sont en fait des op\'erateurs sur des espaces de dimension 2, il suffit d'ajouter que
\begin{displaymath}
1\,\partial _i=0 \quad \&\quad x_{i}\, \partial _{i}=1
\end{displaymath}
aux propri\'et\'es ci-dessus pour caract\'eriser $\partial _i$.

On trouve ais\'ement d'autres op\'erateurs du m\^eme type $\pi_i, T_i,\ldots$ satisfaisant les relations de tresse ainsi que
\begin{eqnarray*}
1\, \pi_{i}=1 &\&& x_{i+1}\, \pi_i =0 \\
1\, T_{i}=t_1 &\&& x_{i+1}\, T_i =-t_2 x_i \ .
\end{eqnarray*}

Avec ces outils \'el\'ementaires, on peut engendrer r\'ecursivement des bases lin\'eaires de l'anneau des polyn\^omes en $x_1,\ldots,x_n$ (qui peuvent d'ailleurs toutes postuler, au vu de leurs propri\'et\'es combinatoires, au tittre de fonctions de Schur non sym\'etriques).

Les $\partial _i$ engendrent les \textit{polyn\^omes de Schubert}, les $\pi_i$ engendrent les \textit{caract\`eres de Demazure} ainsi que les \textit{polyn\^omes de Grothendieck}, les $T_i$ engendrent les polyn\^omes de Hall-Littlewood ainsi que les polyn\^omes de Macdonald non-sym\'etriques.

Ces objets ayant \'et\'e construits par r\'ecurrence, il appartient dans un premier temps \`a la combinatoire d'en donner les propri\'et\'es, ainsi que leurs relations mutuelles. C'est ce \`a quoi je me suis attach\'e avec Marcel-Paul Sch\"utzenberger, la combinatoire du groupe sym\'etrique (ou des groupes de Weyl de type $B,C,D$) jouant un r\^ole fondamental.

Les 400 pages de \textit{\href{http://www-igm.univ-mlv.fr/~al/ARTICLES/CoursYGKM.pdf}{Polynomials}} en sont une introduction. Par ailleurs, toutes les formules ont \'et\'e impl\'ement\'es en Maple et seront prochainement disponibles dans un fichier ind\'ependant.

\bigskip
\noindent\textit{Alain Lascoux}\\
\textit{2013-09-24}

\end{document}