%%  Rota_Mar2.tex    repris 21juin 2000 
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm}

\begin{document}
\title{Couper les alphabets en quatre\\
{\small\it Quelques commentaires sur l'oeuvre math\'ematique de }\\
{\small\bf Gian-Carlo Rota}}

\author{\small Alain Lascoux\\
\small CNRS, Institut Gaspard Monge, Universit\'e de Marne-la-Vall\'ee\\
\small 77454 Marne-la-Vall\'ee Cedex, France\\
\small  Alain.Lascoux@univ-mlv.fr }

\date{}
\maketitle

\def\s{\scriptstyle }
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\l{\lambda}
\def\L{\Lambda}
\def\e{\epsilon}
\def\ss{\sigma}
\def\d{\partial}
\def\P{\psi}
\def\bu{$\bullet$\quad}

\def\S{{\mathfrak S}}
\def\Sym{{\mathfrak Sym}}


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\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\A{{\mathbb A}}
\def\B{{\mathbb B}}
\def\C{{\mathbb C}}

\catcode`\@=11
\def\petitematrice#1{\null\vcenter {\normalbaselines \m@th
\ialign {\hfil $##$\hfil &&\thinspace  \hfil $##$\hfil\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}}

\def\moyennematrice#1{\null\vcenter {\normalbaselines \m@th
\ialign {\hfil $##$\hfil &&\   \hfil $##$\hfil\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr
\mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{abstract}
 We stress the importance of addition (of alphabets)
in the mathematical work of Gian-Carlo Rota, in particular
for what concerns his "Finite Operator Calculus". 
\end{abstract}

J'ai rencontr\'e Gian-Carlo en 1976 en d\'ebarquant au MIT \`a
la recherche d'interlocuteurs. Travaillant  \'etroitement avec
Marcel-Paul Sch\"utzenberger qui \'etait un de ses grands amis,
 je n'avais pas besoin d'autre introduction!
De plus, les quelques dollars que j'avais en poche me cantonnaient 
aux restaurants dits \lq\lq fasts", ce que le sens de l'hospitalit\'e de 
Gian-Carlo  pouvait difficilement accepter.  J'eus donc l'honneur de figurer 
\`a plusieurs reprises sur sa note de frais professionnels. 
C'\'etait encore l'\'epoque o\`u les 
inspecteurs des imp\^ots acceptaient 
d'encourager le d\'eveloppement de la combinatoire. 
Ce n'est plus le cas de nos jours  o\`u  cette derni\`ere
a acc\'ed\'e \`a la reconnaissance officielle du S\'eminaire 
Bourbaki. Je tiens \`a pr\'eciser toutefois que le repas \'etait prolong\'e par
de longues discussions sur les m\'erites compar\'es de diff\'erentes
structures alg\'ebriques, Gian-Carlo me demandant 
de lui r\'ep\'eter une fois encore les axiomes des $\l$-anneaux qu'il notait
dans ses cahiers avec un nouvel exemple de leur usage.

Gian-Carlo se pr\'esentait comme l'\'epigraphiste 
des richesses de la litt\'era\-ture
math\'ematique pass\'ee et l'avocat de la recherche des structures
qui permettent de les int\'egrer aux courants actuels.

Par exemple, le principe d'inclusion-exclusion conduit \`a l'\'etude 
des ensembles ordonn\'es, et \`a leur fonction de Moebius. 
La th\'eorie des invariants m\`ene au calcul ombral, le calcul
diff\'erentiel a sa contrepartie discr\`ete, etc. 

Mais il ne suffit pas de d\'egager les structures alg\'ebriques 
pour qu'elles existent, il faut encore les commercialiser. Et pour cela,
montrer que l'investis\-sement que repr\'esente leur apprentissage est
r\'ecompens\'e par l'\'eclairage nouveau apport\'e \`a diff\'erents
domaines classiques, la mise en relation de notions disjointes jusque l\`a,
et l'apport de nouveaux objets - car on ne peut toujours moudre le m\^eme
grain, il faut semer!



Calcul ombral \cite{R1}, 
fonction de Moebius \cite{R2}, alg\`ebres de Hopf \cite{R7}, 
de Baxter \cite{R4}, etc.
peuvent de fait se r\'esumer chacun(e)s  en deux mots.

Par exemple, le calcul ombral est l'art de lever les indices et d'abaisser
les exposants, l'inversion de Moebius est l'inversion des matrices
triangulaires de diagonale $1,\ldots, 1$, etc.

Mais ces notions sont plus sophistiqu\'ees qu'il n'y para\^{\i}t.
Comment calculer sur des ensembles ordonn\'es quand on ne peut les
repr\'esenter et exp\'erimenter sur eux d\`es qu'ils sont quelque
peu volumineux?  M\^eme dans le cas d'un objet aussi classique que
le groupe sym\'etrique, si l'on peut donner sa fonction de Moebius
(relative \`a l'ordre de Bruhat), on ne sait dire que peu de choses
sur ses intervalles ( i.e. les ensembles $[x,y]:=\{z\, :\,  x\leq z\leq y\}$).
Par exemple, on conjecture que les  
{\it polyn\^omes de Kazhdan-Lusztig}  $P_{x,y}$ pour le
groupe sym\'etrique ne d\'ependent que de la classe 
d'isomorphisme de l'intervalle $[x,y]$, mais en g\'en\'eral   on 
ne sait pas  calculer ce polyn\^ome, 
quoique  ce soit le premier
niveau de la description des intervalles.

Quand \`a lever des indices, rien ne nous en emp\^eche, mais 
bien entendu on veut le faire {\it sans perte d'information}.

Il est clair que dans une identit\'e lin\'eaire en des ind\'etermin\'ees
 $a_i$, $i=1,2\ldots$, on peut remplacer sans dommage chaque $a_i$ par
$a^i$, en supposant que $a$ est une ind\'etermin\'ee ou un \'el\'ement 
transcendant sur l'espace de base. Mais pourquoi dans les relations 
de {\it straightening} si ch\`eres \`a Rota \cite{R9} entre les mineurs 
d'une matrice peut-on se restreindre \`a une matrice de 
Vandermonde 
$$\left[ \moyennematrice{ a^1 & a^2 & a^3 &\cdots \cr
 b^1 & b^2 & b^3 &\cdots\cr  \cdot & \cdot &\cdot &\cdots }\right] $$
au lieu d'avoir \`a prendre une matrice g\'en\'erique 
 $$\left[  \moyennematrice{ a_1 & a_2 & a_3 &\cdots \cr
 b_1 & b_2 & b_3 &\cdots\cr  \cdot & \cdot &\cdot &\cdots }\right] \quad  ? $$

Les r\`egles du calcul ombral sont simples, mais d\'efinir pr\'ecis\'ement
leur domaine de validit\'e est beaucoup moins \'el\'ementaire et pose un
probl\`eme de \lq\lq  fondations", cf. \cite{R11}. 
J'aborderai donc ce probl\`eme
sous l'angle le plus simple que je connaisse, celui de l'addition.

Addition de quoi? Addition d'{\it alphabets}, i.e. union disjointe 
d'ensembles d'ind\'etermin\'ees :
$$ \left( \A=\{ a\} \ , \ \B= \{ b\} \right)\quad  
\mapsto \quad \A+ \B:= \{ a\} \cup  \{ b\}  \ .  $$

Ne consid\'erons pour le moment que des ensembles finis. 
En prenant une ind\'etermin\'ee suppl\'ementaire $z$, on peut \'ecrire
des fonctions g\'en\'eratrices  
\begin{equation}
 \l_z(\A) := \prod_{a\in \A} (1 +za) \quad , \quad 
 \ss_z(\A):=  \prod_{a\in \A}  {\frac{1}{1-za}} .
\end{equation}
dont le d\'eveloppement d\'efinit les fonctions {\it compl\`etes } 
$S^i(\A)$ et {\it \'el\'ementaires} $\L^i(\A)$
\begin{equation}
 \l_z(\A) =\sum z^i\, \L^i(\A)  \quad  , \quad 
 \ss(\A) = \sum z^i\, S^i(\A)  \ .
\end{equation}
L'addition des alphabets implique donc le produit des fonctions
g\'en\'eratrices 
\begin{equation}
 \l_z(\A+\B)= \l_z(\A)\, \l_z(\B) \quad ,
\quad \ss_z(\A+\B)=  \ss_z(\A)\,  \ss_z(\B) \ . 
\end{equation}
On a besoin aussi des {\it sommes de puissance} $\psi_i$:
\begin{equation}
\psi_i(\A)=\sum_{a\in \A} a^i \quad , \quad
\sum_{i=1}^\infty \psi_i(\A)\frac{z^i}{ i} =\log( \ss_z(\A)) \ . 
\end{equation}

Mais quand on sait additionner, on sait aussi multiplier par un entier
positif 
$$ \A=\{ a\}  \rightarrow 2\A := \{ a' \} \cup \{ a''\} \quad , \quad
  3\A := \{ a' \} \cup \{ a''\} \cup \{ a'''\} \ldots $$
c'est-\`a-dire doubler, tripler chaque lettre (et oublier les diacritiques
\`a l'\'etape finale):
$$ \l_z(2\A) = \l_z(\A)^2 \quad , \quad \l_z(3\A) = \l_z(\A)^3 \ldots $$

On n'a pas besoin de plus d'outils pour inverser les s\'eries formelles
$f(z) = z + f_1z^2 +f_2z^3 + \cdots$, c'est-\`a-dire trouver 
$g(z) = z + g_1z^2 + g_2z^3 + \cdots$ telle que 
$$f(g(z)) =z  \quad \& \quad g(f(z))=z \ .$$
C'est un probl\`eme que l'on sait r\'esoudre depuis Lagrange,
en calculant les d\'eriv\'ees successives des puissances de $f$,
c'est-\`a-dire \`a l'aide d'op\'erations qui s'expriment ais\'ement en
termes d'alphabets.
Si l'on d\'ecide d'\'ecrire $f$ sous la forme 
$f= z\ss_{-z}(\A)$, alors on trouve que les puissances de $g$ sont 
\begin{equation}
 g^k(z) = k\, z^k \sum \frac{z^i}{i+k}\, \L^i\bigl( (i+k)\A \bigr) \ , 
\end{equation}
et donc ne r\'eclament que la multiplication des alphabets par des entiers
si $k\in\Z$ (on peut en fait prendre $k\in\C$; le cas limite $k=0$ donne
le logarithme de $g$).

La th\'eorie  des fonctions sym\'etriques fournit, pour tout choix de 
couples de bases adjointes par rapport au produit scalaire naturel,
un d\'eveloppement des $\L^i((i+k)\A)$ en fonction des coefficients de
$f$ ou $1/f$.  Ces d\'eveloppements apparaissent dans la litt\'erature
classique, obtenus par les nombreux math\'e\-ma\-ticiens qui ont voulu donner
leur interpr\'etation de l'inversion de Lagrange, en dernier lieu dans
la th\`ese de Vincent Prosper qui en propose l'impl\'emen\-tation 
\cite{Pr1,Pr2}.
En d'autres termes, la notation condens\'ee $\L^i( (i+k)\A)$ 
{\it contient} les formules suivantes (nous rejetons en annexe les 
propri\'et\'es requises des fonctions sym\'etriques)~: 
\begin{equation}
\begin{matrix}
 \L^i((i+k)\A) &= &(-1)^i\sum\nolimits_{|J|=i} \P_J(-(i+k))S^J( \A) & (a)\\
&= &\sum\nolimits_{|J|=i}\P_J(i+k)\L^J( \A) & (b) \\
&=  &\sum\nolimits_{|J|=i}S_J(i+k)S_{J^\sim}( \A) &(c)  \\
&= &\sum\nolimits_{|J|=i}\L^J(i+k)\P_J( \A) &(d) \\
&= &(-1)^{i}
 \sum_{|J|=i}  \frac{(-i-k)^{\ell(J)}}{m_1!m_2!\cdots}
  (\frac{\P_1}{1})^{m_1}  (\frac{\P_2}{2})^{m_2}  
  (\frac{\P_3}{3})^{m_3} \cdots
& (e) \\ 
\end{matrix}
\end{equation}
sont les d\'eveloppements possibles dans la base des produits de
fonctions compl\`etes $S^J$, des produits de fonctions \'el\'ementaires
$\L^J$, des fonctions de Schur $S_J$, des fonctions monomiales $\P_J$,
des produits de sommes de puissance $\P^J$, en notant dans $(6e)$
les partitions sous forme exponentielle : $J=1^{m_1} 2^{m_2}\cdots$. 

Soulignons encore une fois que 
 chacun de ces d\'eveloppements r\'esulte d'une explicitation
de l'op\'eration $\A \rightarrow k\, \A$ \`a l'aide de (1),...,(4).

\smallskip
Revenons aux travaux de Gian-Carlo.  Je dis que l'article fondamental
"Finite Operator Calculus" [R1] 
repose essentiellement sur l'inversion de Lagrange, et donc en fin 
de compte, sur la multiplication 
des alphabets par des entiers.

De quoi s'agit-il? On veut d\'eformer la d\'eriv\'ee 
$$ D:= \frac{d}{dx} \rightarrow Q= D +a_1D^2+a_2D^2+\cdots $$
tout en pr\'eservant des propri\'et\'es telles que l'existence d'une base
$\{ x^n\} : D x^n= nx^{n-1}$, celle d'un d\'eveloppement de Taylor, etc.
, i.e. les outils de l'analyse classique en une variable.

Introduisons un alphabet $\A$ (dont on ne cherchera pas \`a expliciter
les \'el\'ements !) pour \'ecrire  
\begin{equation}
 Q = D\, \ss_{-D}(\A) = D - S^1(\A)D^2 +S^2(\A)D^2 -S^3(\A)D^3
 +\cdots 
\end{equation}
On cherche des polyn\^omes $P_n$, $n=1,2\ldots$, $P_0:=1$, tels que 
\begin{equation}
 Q(P_n) = n P_{n-1} \quad \&\quad  P_n(0) =0 \ , \ n\geq 1 \ . 
\end{equation}
Le th\'eor\`eme de Rota (\cite{R5}, th. 4), est 
\begin{equation}
 P_n = x\, \l_D(n\A)\, x^{n-1}\quad ,\quad  \ n\geq 1 \ . 
\end{equation}

\begin{proof}[Preuve]
Notant  $f'$ la d\'eriv\'ee en $x$ d'une fonction
$f(x)$, on a 
$f(D) x = x\, f(D) + f'(D)$.
Prenant $f$ telle que  $f(D) =\l_D(-\A)$, on a $Q= D\,f =f\, D$ et
$$Q\, P_n= f\, DP_n= f\, D x f^{-n}\, x^{n-1} $$
$$= f\, f^{-n}\, x^{n-1} + fx\, Df^{-n} x^{n-1} \qquad
=  f^{-n+1 }\, x x^{n-2} + f x f^{-n} D x^{n-1} $$
$$ =(1-n)f'\,  f^{-n}\, x^{n-2} + x f^{-n+1} x^{n-2} +
xf'\,   f^{-n}\, (n-1) x^{n-2}+ x f^{-n+1} (n-1) x^{n-2}$$
$$= n\, P_{n-1} $$
\end{proof}

Le th\'eor\`eme de Rota a de multiples corollaires qui sont les propri\'et\'es
de l'analyse classique que l'on voulait d\'eformer~:

\noindent
\bu existence d'un noyau reproducteur 
\begin{equation}
\sum \frac{P_n(y)}{n!}\, Q^n(f(x)) = f(x+y) \ , 
\end{equation}
\bu d'une formule de Cauchy
\begin{equation}
\sum \frac{P_n(y)}{n!}\, x^n\ss_{-x}(n\A) = \exp(xy) \ , 
\end{equation}
\bu d'une propri\'et\'e de \lq\lq binomialit\'e"
\begin{equation}
 P_n(x+y) = \sum \binom{n}{i} P_i(x) P_{n-i}(y) \ .
\end{equation}
Ces formules peuvent s'interpr\'eter comme r\'esultant du remplacement
de l'exponentielle classique par $\sum x^n P_n(x)/n!$. 
Elles peuvent appara{\i}tre beaucoup plus surprenantes 
une fois sp\'ecialis\'ees.

Prenons par exemple $Q=D(1-D)$, i.e. $\A$ est tel que $S^1(\A)=1$,
 $S^i(\A)=0$, $i>1$.  Alors $\L^i(n\A) = \binom{n+i-1}{i}$, 
\begin{equation}
 P_n = \sum \frac{(n-i)\cdots(n+i-1)}{i!}\ x^{n-i} \ ,
\end{equation}
et la formule de Cauchy donne le d\'eveloppement de l'exponentielle  
\begin{equation}
 \exp(xy) = \sum \frac{P_n(y)}{n!}\, x^n\, (1-x)^n 
\end{equation} 
utilis\'e par Schur \cite{Schur}  pour calculer $\sin(\pi x)$. 

Les {\it polyn\^omes d'Abel} apparaissent pour 
$$ Q= D+ aD^2/1! + a^2D^3/2!+\cdots\ , $$
 i.e. pour $Q$ tel que $Q(f(x))= \frac{d}{ dx} f(x+a)$.  

L' \lq\lq alphabet d'Abel" correspondant est tel que 
 $S^i(\A)=(-a)^i/i!$, $\L^i(n\A) = S^i(n\A) = (-na)^i/i!$, et donc alors 
\begin{equation}
P_n(x) =x\, (x-na)^{n-1} \ . 
\end{equation}
Dans ce cas, ce sont en fait les sommes de puissances qui
sont les plus simples, car l'on a : 
$$ \psi_1(n\A) = -na \quad \& \quad    \psi_i(n\A) =0 \ ,\, i>1 \ .$$
On peut noter que les dimensions 
$dim(J)$, $J$ partition, des repr\'esentations du groupe sym\'etrique
sont donn\'ees par la sp\'ecialisation $S^i(\A)=1/i!$. On peut donc
calculer les d\'eterminants en les $S^i(n\A)$ en terme de ces
dimensions (qui ont diff\'erentes interpr\'etations combinatoires). 
Ainsi a-t-on pour les fonctions de Schur en les multiples entiers de
l'alphabet d'Abel, pour $J=[j_1,\ldots,j_n]$, $0\leq j_1 \leq 
\leq \cdots \leq j_n$~: 
$$ S_J(n\A) = \frac{(-a\, n)^{|J|}}{|J|!} \, dim(J) =
(-a\, n)^{|J|} \det\left| \frac{1}{ (j_i+k-i)!} \right|_{1\leq i,k\leq n}
 \ .$$


Dernier exemple de d\'eformation de la d\'eriv\'ee,
 conduisant aux nombres de Bernoulli:
\begin{equation}
 Q =D \frac{D}{\exp(D) -1} = D\, (1- \frac{1}{2}D +\frac{B_2}{2!} D^2 
+\frac{B_4}{4!} D^4 + \cdots ) 
\end{equation}
On a donc 
$$ S^i(\A) = B_i/i! \quad \& \quad \L^i(\A)= (-1)^i/(i+1)! \quad ,\quad i\geq
0 \ .$$
Les fonctions \'el\'ementaires sont les m\^emes que pour Abel (et $a=1$),
 \`a un d\'ecalage d'indice pr\`es,
 qui a des cons\'equences que le corps m\'edical
d\'enomme drastiques:
\begin{equation}
 P_n(x) = x \left(\frac{\exp(D)-1}{ D} \right)^n\, x^{n-1} =
   x(1+D/2! +D^2/3!+\cdots)^n\, x^{n-1} \ . 
\end{equation}

D'avoir des notations compactes pour d\'esigner les coefficients des
puissances d'une s\'erie facilite grandement les calculs.  Mais de plus, que
ces notations utilisent le formalisme des alphabets et des fonctions
sym\'etriques permet, \`a partir d'une identit\'e, d'en engendrer de 
multiples autres en puisant dans tout bon formulaire de fonctions
sym\'etriques \cite{LS2} ou \cite{Ma}.

Ainsi, dans le cas pr\'esent de l'alphabet de Bernoulli, l'identit\'e
$ \frac{d}{dx}\exp(x) = \exp(x)$ implique
que $\psi_i(\A) = -S^i(A) \ \forall i>1$, et donc les relations
de Newton entre fonctions compl\`etes $S^i$ et sommes de puissances
$\psi_k$ 
$$ nS^n= \psi_1 S^{n-1} + \psi_2 S^{n-2}+\cdots \psi_n S^{0} $$
fournissent la r\'ecurrence suivante sur les nombres de Bernoulli
(dont Gessel me signale qu'elle est classique)
\begin{equation}
 -(n+1)S^n(\A)= \frac{-n-1}{ n!} B_n= S_2(\A) S_{n-2}(\A) +
    S_4(\A) S_{n-4}(\A) + \cdots + S_{n-2}(\A) S_2(\A) \ . 
\end{equation}
On pourra comparer l'algorithme sous-jacent \`a celui de Mademoiselle 
Augusta Ada, comtesse de Lovelace, 
\begin{equation}
\frac{2x-1}{2( 2x+1) } = B_2 \frac{2x}{2!} +  B_4 
\frac{2x(2x-1)(2x-2)}{4!} +  B_6 \frac{2x\cdots (2x-4)}{6!} +\cdots 
\end{equation}

Pour clore le chapitre des nombres de Bernoulli, 
on me permettra de les exprimer en terme 
 de polyn\^omes de Schubert \cite{LS1}  $Y_v$ sp\'ecialis\'es en 
$x_1=x_2=\cdots =1$. On a ainsi
\begin{equation}
 (-1)^{n-1} B_{2n}=\frac{ Y_{[ 2, (3,0)^{n-1}]}}{2^n (n-1)! (2^{2n}-1)  }
= \frac{  n\, Y_{ [1, (2,0)^{n-1}]}}{2^{2n}  (2^{2n}-1)  } 
\end{equation}
 $$B_{12}= Y_{[2,3,0,3,0,3,0,3,0,3]}\, \frac{1}{31449600} = 
Y_{[1,2,0,2,0,2,0,2,0,2]}\,  \frac{1}{1397760} \ .$$
Mais l'on peut r\'eduire les d\'eterminants exprimant les polyn\^omes de
Schubert pr\'ec\'edents, et finalement on obtient les nombres de
Bernoulli comme mineurs de la matrice de Pascal 
$\left| \binom{i}{2j-i}\right|$, aux facteurs  $2\times (2^{2n}-1)$ pr\`es.
Par exemple, pour $n=6$, le produit de $B_{12} = -\frac{691}{2730}$
par l'entier $2\times (2^{2n}-1)$ (= 8190), est \'egal au d\'eterminant (=2073)
de la matrice suivante (\'ecrivant `$\cdot$` pour `$0$`, la
matrice de Pascal d\'ecal\'ee dont elle est extraite figurant \`a droite)~:
$$\left[ \moyennematrice{1& 1& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\cr \cdot& 
1& 1& \cdot& \cdot& \cdot\cr \cdot& \cdot&
3& 1& \cdot& \cdot\cr \cdot& \cdot& 1& 6& 1& \cdot\cr \cdot& \cdot& \cdot& 
5& 10& 1\cr \cdot& \cdot& \cdot& 1& 15& 15} \right]
\leftarrow \quad
\left[ \moyennematrice{
1& 1& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot & \cdot& \cdot& \cdot &\cdot\cr
\cdot& 1& 2 &1& \cdot& \cdot& \cdot & \cdot& \cdot &\cdot\cr
\cdot& \cdot&
          1&3&3& 1& \cdot& \cdot&\cdot&\cdot\cr
\cdot& \cdot&\cdot&
      1&4& 6&4& 1& \cdot&\cdot \cr
\cdot& \cdot& \cdot&\cdot &
1&5& 10& 10&5&1\cr
\cdot& \cdot& \cdot&\cdot&\cdot& 1&6& 15&20& 15} \right]
$$

Les combinatoristes ne peuvent se lasser de r\'ep\'eter qu'ils ont pratiqu\'e
le $q$-calcul avant que les sp\'ecialistes des groupes quantiques ne s'en
emparent.

Ils disposent ainsi d'une {\it $q$-d\'eriv\'ee} $D_q: f\mapsto 
\frac{ f(qx) -f(x)}{qx-x}$. A l'instar du cas pr\'ec\'edent, on peut
la d\'eformer : 
\begin{equation}
 D_q \mapsto Q= D_q \ss_{-D_q}(\A) =  
 D_q - S^1(\A)D_q^2 +S^2(\A)D_q^2 -S^3(\A)D_q^3
 +\cdots 
\end{equation}
Comme $D_q(x^n) = [n]\, x^{n-1}$, avec $[n]:= 1+q+\cdots + q^{n-1}$, 
on est amen\'e \`a chercher des polyn\^omes $P_n^q$ tels que
\begin{equation}
 Q(P_n^q) = [n] P_{n-1}^q \quad \&\quad  P_n^q(0) =0 \ , \ n\geq 1 \ . 
\end{equation}

Il faut en fait remplacer la relation $P_n= x\l_D(n\A) x^{n-1}$ 
par une \'equivalente pour pouvoir la $q$-ifier, et l'on trouve 
\begin{equation}
 P_n^q=  \left( 1 +\sum (n-|J|)
\frac{(n-1)\cdots (n-\ell(J) +1)}{\prod m_i!} \L^J(\A)\, D_q^{|J|} 
\right) \, x^n \ , 
\end{equation}
somme sur toutes les partitions $J \neq 0$, $J=1^{m_1} 2^{m_2}
3^{m_3}\cdots$,  $\ell(J)= m_1+m_2+\cdots$, $|J|=m_1+2m_2+3m_3+\cdots$,
et $\L^J:= (\L^1)^{m_1} (\L^2)^{m_2}(\L^3)^{m_3} \cdots $.

Les $q$-entiers n'apparaissent donc que dans l'action de $D_q$ et pas dans les
coefficients des puissances de $D_q$.  Comme on obtient $P_n^q$ \` a partir
de $x^n$ et pas de $x^{n-1}$, la formule (23) ne d\'ecoule pas
instantan\'ement de (9). 
Pour des extensions du calcul ombral,
voir \cite{Ro}. 


Il me faut maintenant justifier que l'addition ou la multiplication par les
entiers ne couvre pas toutes les math\'ematiques. Il est n\'ecessaire 
 en effet de faire appel \`a  la
multiplication par les rationnels, ou m\^eme les nombres complexes. 

En d'autres termes, on a rencontr\'e le doublement des alphabets
$\A=\{ a\}  \mapsto 2\A := \{ a' \} \cup \{ a''\}$,
mais on r\'eclame l'op\'eration inverse :
$$ \A\mapsto \frac{1}{2}\A = \B \quad , \quad \B = \{ b \} \mapsto 
\{ b' \} \cup \{ b''\} = \A \ . $$
Si l'on veut bien voir qu'au niveau des sommes de puissance :
$$ \psi_i(2\A) = \sum (a')^i + \sum (a'')^i = 2\psi_i(\A) \ , $$
on comprend que $B=k\, \A$, $k\in \C$ puisse \^etre formellement
d\'efini par 

\begin{equation}
 \psi_i(\B) := k\, \psi_i(\A) \ , \ i\geq 1 \ .
\end{equation}
Mais il est plus \'eclairant de constater que tout polyn\^ome peut jouer
le r\^ole d'alphabet, c'est-\`a-dire que les $\psi_i$ sont des op\'erateurs
sur l'anneau des polyn\^omes  ( $\a\in \C$, $u$ mon\^ome):
\begin{equation}
 P= \sum_{\a,u} \a\, u \Rightarrow \psi_i(P) = \sum_{\a,u} \a\, u^i
\ . 
\end{equation}
L'anneau des polyn\^omes sym\'etriques $\Sym$  ayant pour g\'en\'erateurs 
les $\psi_i$, $i=1,2,\ldots$, les formules (25) font de tout polyn\^ome 
sym\'etrique un op\'erateur sur l'anneau des polyn\^omes. 
Ansi, les fonctions g\'en\'eratrices des op\'erateurs $\L^i$ et $S^i$ sont
\begin{equation}
 P= \sum_{\a,u} \a\, u \mapsto \l_z(P) = \prod (1+zu)^\a \ ,
\end{equation}
\begin{equation}
 P= \sum_{\a,u} \a\, u \mapsto
\ss_z(P)= \prod (1-zu)^{-\a} \ .   
\end{equation}
Chacune des formules (25) (26), (27), au choix, caract\'erise la structure 
de $\l$-annneau de l'anneau des polyn\^omes. Grothendieck avait choisi
les {\it lambda op\'erations}, c'est-\`a-dire les {\it puissances 
ext\'erieures} $\L^i$ sur les classes de fibr\'es vectoriels, 
les $S^i$ \'etant les {\it puissances sym\'etriques}. 
Les topologues alg\'ebristes pr\'ef\`erent quant \`a eux 
les {\it op\'erations d'Adams} $\psi_i$ (voir en annexe
quelques remarques sur les $\lambda$-anneaux). 

Remarquons le r\^ole diff\'erent jou\'e par les constantes $\a$ et
les mon\^omes $u$:
\begin{equation} \left\{   
\begin{matrix}  
\psi_i(\a) =\a \; , &S^i(\a) = \binom{\a+i-1}{i} \; , 
&\L^i(\a) = \binom{\a}{i} \\ 
\psi_i(u) =u^i \; , &S^i(u) =u ^i \; ,  &\L^i(u) = 0,\, i>1, &\L^1(u) =u
\\ 
\end{matrix} \right. 
\end{equation}

Un syst\`eme de calcul formel ne peut distinguer, sans aide,  
des coefficients ind\'etermin\'es $\a$ de variables $u$. 
Il est plus correct de
caract\'eriser les \lq\lq mon\^omes" comme les {\it \'elements de rang 1}
(i.e. les $x\neq 0$ tels que $\L^i(x) = 0 \ \forall i>1$),
et les \lq\lq constantes" $\a$ comme les \'elements invariants par les $\psi_i$
(Rota \cite{R5} disait plut\^ot  {\it \'el\'ement de type binomial}).

Il est appropri\'e de ne pas se cantonner aux polyn\^omes, mais de prendre
plut\^ot des fonctions rationnelles, ou des s\'eries formelles, 
en gardant comme d\'efinition 
\begin{equation} \psi_i \left( \frac{\sum \a u}{\sum \b v}\right) = 
  \frac{\sum \a u^i}{\sum \b v^i}  \ , 
\end{equation}
les sommations \'etant finies ou non.

Avec un peu de pr\'ecaution, on peut aussi utiliser des 
"mon\^omes de Laurent" d'exposants dans $\Z$ au lieu de $\N$.

Si $q$ est de rang 1, on peut maintenant \'ecrire 
$\frac{1}{ 1-q}= 1+q+q^2+\cdots$, c'est-\`a-dire $\frac{1}{1-q}$
est l'alphabet infini $\{ 1,q,q^2,\ldots\}$ et
$\psi_i( \frac{1}{1-q}) = \frac{1}{1-q^i}$, $i\geq 1$. 
Incidemment, Cauchy nous apprend que :
\begin{equation} S_i(1/(1-q))= 1/(1-q)\cdots (1-q^i)  
\end{equation}
et donc 
\begin{equation}\ss_x(1/(1-q)) =\sum {x^i}/{(1-q)\cdots (1-q^i)} 
\end{equation}
est la $q$-exponentielle, l'\'egalit\'e ${1}/{1-q}= 1+q+q^2+\cdots$
se traduisant par la factorisation 
\begin{equation}\ss_x({1}/{1-q}) =\prod_{i=1}^\infty  {1}/{(1-xq^i)}  
\end{equation}
qui fait de la $q$-exponentielle un objet souvent plus simple \`a manipuler
que l'exponentielle proprement dite \cite{R6}.

En combinant des \'el\'ements de type diff\'erent d'un $\l$-anneau, 
on code par le signe \lq\lq $+$" des d\'eveloppements tr\`es vari\'es.
Soit par exemple $x$ de type binomial, $q$ de rang 1 et $y$ tel que $y(1-q)$ 
soit de rang 1. On d\'efinit les $q$-polyn\^omes de Charlier par : 
\begin{equation} Ch_n(x) := n!\, \L^n(x-y)   \ . 
\end{equation}
Pour avoir leur expression explicite, il est
pr\'ef\'erable d'introduire $z:=y(1-q)$. On alors
$$\L^n(x-\frac{z}{1-q})= \sum \L^{n-i}(x) \L^i(\frac{-z}{1-q}) = 
\sum \L^{n-i}(x) (-z)^i S^i(\frac{1}{1-q}) $$
\begin{equation} 
Ch_n(x)= n! \sum \frac{x\cdots (x-n+i+1)}{(n-i)!} 
\frac{ (-y)^i (1-q)^i}{(1-q)\cdots (1-q^i)} \ , 
\end{equation}
en combinant (3), (28), (30). Pour $y=1$, $q\rightarrow 1$, on retrouve bien
les polyn\^omes classiques (Rota \cite{R1}, p.64).

Nous pouvons maintenant revenir au calcul ombral, en ayant pr\'esent \`a
l'esprit qu'il y a plusieurs rel\`evements  possibles pour $a_i$:
$$ a_i \mapsto S_i(\A)\ ,\ a_i \mapsto \psi_i(\A)  \ ,\ 
a_i \mapsto i! S_i(\A) \ , \ \ldots $$
C'est l\`a o\`u il faut faire preuve de discernement, et/ou disposer
d'un outil qui permette l'exp\'erimentation comme ACE \cite{AV} et sa 
librairie SFA \cite{Pr2} consacr\'ee aux $\l$-anneaux.

Prenons par exemple l'identit\'e 
\begin{equation} \exp(bx) = \sum \frac{b(ak+b)^{k-1}}{k!} (x\exp(-ax))^k \ , 
\end{equation}
que Riordan \cite{Ri} donne comme application de l'inversion de Lagrange.
Comment l'interpr\'eter dans un $\l$-anneau ?  On peut introduire deux
alphabets $\A$, $\B$, remplacer $\exp(ax)$ par $\ss_x(\A)$, 
$\exp(bx)$ par $\ss_x(\B)$ et chercher les coefficients $c_k$  du
d\'eveloppment  
\begin{equation} \ss_x(\B) = \sum c_k (\frac{x}{\ss_x(\A)})^k 
= \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A)  \ . 
\end{equation}
Les premiers termes sont 
$$ 1+xS^1(\B)+x^2S^2(\B) +\cdots =
1+ xS^1(\B)\l_{-x}(\A) +
 x^2(S^2(\B)+S^1(\B) S^1(\A))$$ 
$$ \l_{-x}(2\A) 
+ x^3(S^3(\B)+ 2S^2(\B) S^1(\A)+2S^1(\B)S^2(\A) + S^1(\B)S_{11}(\A) )
 \l_{-x}(3\A) +\cdots $$
On voit que les $c_k$ sont lin\'eaires en les $S_i(\B)$ ce qui permet 
de se retreindre \`a un alphabet $\B:= b $ de cardinal 1. Par
homog\'en\'eit\'e, on peut m\^eme poser $b=1$.
On veut donc r\'esoudre 
$$ \frac{1}{1-x}= \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A) $$
i.e. 
$$1 = (1-x) \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A)= \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A+1) \, $$
syst\`eme dont la solution combine addition et multiplication par un entier:
\begin{equation}
 c_k= \frac{1}{k} S^{k-1}(k\A+2) \ , \ k\geq 1 \ . 
\end{equation}
Par exemple, $c_3=\frac{1}{3}S_2(2\A+2)= 2S^2(\A)+S_{11}(\A) +2S^1(\A)+1$
et, en revenant \`a une expression homog\`ene de degr\'e 3
$$ c_3= 2S^2(\A) S^1(\B) +S_{11}(\A)S^1(\B) +2S^1(\A)S^2(\B) + S^3(\B)\ . $$

L'identit\'e de Riordan se retrouve dans la sp\'ecialisation 
$S^i(\A)= a^i/i!$, $S^i(\B)=b^i/i!$, car alors :  
$$ c_3\mapsto 2\frac{a^2}{2}\frac{b}{1} + \frac{a^2}{2}
\frac{b}{1} +2 \frac{a}{1}\frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3!}= 
\frac{b(3a+b)^2}{3!}\ .$$
On peut m\'editer sur le fait que la g\'en\'eralisation de l'identit\'e
de Riordan se prouve en rempla\c cant $\exp(-bx)$ par $1-bx$,
{\it ombre} qui para\^{\i}t bien ch\'etive pour abriter l'exponentielle, 
qu'elle repose sur le seul usage de la formule (25) et 
qu'elle fait surgir de nihilo l'entier $2$ . 

Nous pourrions multiplier les exemples classiques qui se d\'ecodent en
multiples entiers d'alphabets (voir en particulier l'article de 
Brenti \cite{Br}).  Les quarts d'alphabets promis par le titre de cet
expos\'e se rencontrent plus difficilement dans la nature et je terminerai
sur un seul exemple, celui des
 polyn\^omes de Jack $J^\a_k$ indic\'es par les partitions
de longueur 1 \cite{Ma}.  En effet leur fonction g\'en\'eratrice est :
\begin{equation}
 \sum \frac{z^k}{a^k k!} J^\a_k(x_1,\ldots,x_n) = 
\prod(1-zx_i)^{-\frac{1}{\a}} =
\ss_z(\frac{1}{\a}X) \ ,
\end{equation} 
la derni\`ere \'ecriture supposant que les $x_i$ soient des \'el\'ements 
de rang 1 de somme $X$.  Un exemple de calculs utilisant les techniques
de $\lambda$-anneaux pour produire des identit\'es li\'ees aux  polyn\^omes de
Jack se trouve dans \cite{LL}. 

Quand les $\l$-anneaux seront 
enseign\'es dans les lyc\'ees et coll\`eges,
je n'aurai pas de mal \`a allonger la liste d'exemples.

\medskip\noindent
{\bf Formule de Cauchy}

L'espace des fonctions sym\'etriques $\Sym$ en des ind\'etermin\'ees 
$x_1,\ldots, x_n$ est \'etudi\'e depuis fort longtemps. 
Newton a montr\'e que cet espace est un 
espace de polyn\^omes en les variables 
$\L^1,\ldots, \L^n$, ou
$\psi_1,\ldots, \psi_n$.  La majorit\'e des probl\`emes classiques
se r\'eduisaient \`a des changements de base de $\Sym$ 
(en tant qu'espace vectoriel). 

A la suite de Kostka, on a compris
qu'il existait un produit scalaire canonique, pour lequel 
les fonctions de Schur sont une base orthonorm\'ee, les sommes de
puissance, une base orthogonale, les fonctions monomiales,
la base adjointe des produits de fonctions compl\`etes, etc.
Tous ces \'enonc\'es se r\'esument en l'existence d'un 
{\it noyau de Cauchy} 
$$K(X,Y):= \prod_{i,j} \frac{1}{1-x_iy_j}$$
(introduisant un deuxi\`eme ensemble d'ind\'etermin\'ees 
$y_1,\ldots, y_n$ que l'on peut supposer de m\^eme cardinal).  
Ce noyau d\'efinit le produit scalaire, en ce
sens que tout d\'eveloppement \lq\lq s\'eparant les variables"
$$K(X,Y) =\sum U_J(X) V_J(Y) $$
fournit  un couple de bases adjointes $\{U_J\}$,  $\{V_J\}$ 
de $\Sym$ relativement \`a ce produit scalaire. 

Les d\'eveloppements 
$$K(X,Y)= \prod_i\sum_k y_i^k S^k(X) \ \& \
K(X,Y)= \prod_{i,j}\left( 1+ x_iy_j +(x_i y_j)^2+\cdots \right)$$
montrent que la base monomiale est adjointe de la base des produits de
fonctions compl\`etes, et que la base des sommes de puissance est orthogonale.
La diagonalisation de $K(X,Y)$ dans la base des fonctions de Schur
est moins imm\'ediate. On la d\'eduit du th\'eor\`eme de Binet-Cauchy
exprimant les mineurs d'un produit de deux matrices en fonction de ceux
de chacune d'entre elles (cf. \cite{Ma}), la matrice 
$\left[\frac{1}{1-x_iy_j} \right]$ factorisant en deux matrices de
Vandermonde.

Ces trois d\'eveloppements, combin\'es \`a l'involution $X\mapsto -X$
et la sym\'etrie $X \leftrightarrow Y$ donnent par sp\'ecialisation
de $Y$ en l'entier $i+k$ les formules $(6a),\ldots,(6e)$.

D\'eformant le noyau de Cauchy en introduisant un ou deux param\`etres,
on peut ainsi g\'en\'eraliser les fonctions de Schur en les
{\it polyn\^omes de Hall-Littlewood} ou les {\it polyn\^omes de 
Macdonald}. Cependant ces polyn\^omes forment une base orthonorm\'ee
et non orthogonale, ce qui n\'ecessite d'introduire des conditions 
suppl\'ementaires pour les caract\'eriser
(contrairement aux fonctions de Schur qui sont la seule base orthonormale
de $\Sym$ sur $\Z$).

\medskip\noindent{\bf $\l$-anneaux}

Les $\l$-anneaux sont des anneaux munis d'op\'erateurs $\l^i$, $i\in \N$,
satisfaisant trois axiomes exprimant leur compatibilit\'e  avec 
les op\'erations de l'anneau (cf. \cite{Kn})~:
l'addition : $\l^i(x+y)$, la multiplication $\l^i(xy)$, 
le troisi\`eme axiome  \'enon\c cant 
une propri\'et\'e d'universalit\'e de la composition 
$x \mapsto \l^i(\l^j(x))$ (que les combinatoristes ont appel\'ee
{\it plethysm(e)}.

Au lieu de prendre les $\lambda^i$, on peut utiliser les $S^i$ d\'efinis
par $S^i(x):= (-1)^i\, \l^i(-x)$, ou les $\psi_k$ d\'efinis par la fonction 
g\'en\'eratrice (4) (en rempla\c cant $A$ par $x$). 

Pour ce qui est des calculs explicites, notre connaissance 
du plethysme est \`a l'heure actuelle trop sommaire pour que l'on 
puisse en faire grand usage. Il ne reste que l'addition
(c'est un avatar de la formule de Chu-Vandermonde)
$$ S^k(x+y) = \sum_{i+j=k} S^i(x) S^j(y)$$
et la multiplication, qui est explicit\'ee par la formule de Cauchy
$$ S^k(xy) = \sum_{J:|J|=k} S_J(x) S_J(y) $$
(en d\'efinissant les $ S_J(x)$ comme des d\'eterminants en les
$S^j(x)$). 

On peut donc dire que la formule de Cauchy engendre la majorit\'e des
identit\'es en th\'eorie des $\lambda$-anneaux, tout comme 
en th\'eorie classique des fonctions sym\'etriques.

Nous nous sommes restreints \`a l'anneau des polyn\^omes,
ce qui rend l'axiomatique plus simple. Les objets de base sont en effet 
les mon\^omes $u$ et les scalaires $\a$ (ici, les \'el\'ements de $\C$).
Les trois axiomes se condensent alors en les formules (25), pour $k>0$, 
$$ \psi_k \left(\sum \a\, u\right) = \sum \a\, u^k \ .$$ 

Par contre, dans un $\lambda$-anneau g\'en\'eral, on aura d'autres \'el\'ements
 que les \lq\lq polyn\^omes".

\medskip 
\noindent
{\bf Polyn\^omes de Schubert}

Ces polyn\^omes g\'en\'eralisent les fonctions de Schur et 
constituent une base lin\'eaire de l'anneau des polyn\^omes
en $x_1,x_2,\ldots$, stable par diff\'erences divis\'ees. Leur 
combinatoire fait appel aux permutations, plut\^ot qu'aux partitions.

Pour tout $i$ on d\'efinit \`a la suite de Newton la {\it $i$-\`eme
diff\'erence divis\'ee}  $\partial_i$  comme l'op\'erateur (not\'e \`a droite)

$$ f\, \partial_i = \frac{
f(\ldots x_i,x_{i+1}\ldots) - f(\ldots x_{i+1},x_i \ldots)}
       { x_i - x_{i+1}  }$$

Pour tout $k$, tout $\nu:= [\nu_1,\ldots, \nu_k]$, $\nu_1\geq \cdots \geq 
\nu_k \geq 0$, on pose 
$$ Y_\nu:= x^\nu $$
et l'on d\'efinit r\'ecursivement les {\it polyn\^omes de Schubert} par 
\begin{equation}
Y_J\, \partial_i = Y_{[\ldots, j_{i+1},j_i-1,\ldots]} \quad {\rm si}
\quad j_i >j_{i+1} 
\end{equation}
(comme $\partial_i^2=0$, on a n\'ecessairement $Y_J\, \partial_i=0$ si 
$j_i\leq j_{i+1})$. 
En d'autres termes les polyn\^omes de Schubert sont toutes les images par
it\'eration de diff\'erences divis\'ees des mon\^omes {\it dominants}. 

Lorsque $J$ est du type $j_1\leq j_2\leq \cdots \leq j_n$, 
  $j_{n+1}=0=j_{n+2}=\cdots$, alors $Y_J$ est \'egal \`a la fonction
de Schur d'indice $[j_1,\ldots,j_n]$ en les variables $x_1,\ldots,x_n$.
Les d\'eterminants binomiaux  s'obtiennent
\`a partir des fonctions de Schur,  
en utilisant r\'ep\'etivement la r\`egle (39). 

Ainsi 
$$Y_{2345}\ \stackrel{\d_4\d_5}{\longrightarrow} \ Y_{234003}\  
\stackrel{\d_3}{\longrightarrow} \ Y_{230303}
$$
$$Y_{1234}\ \stackrel{\d_4\d_5}{\longrightarrow} \ Y_{123002}\
\stackrel{\d_3}{\longrightarrow} \ Y_{120202}
$$

Les techniques de diff\'erences divis\'ees remplacent ainsi
les manipulations de d\'eterminants, et fournissent des identit\'es sur les
 d\'eterminants binomiaux qui sont des sp\'ecialisations $x_i=1$,
$i=1,2,\ldots$ 
de polyn\^omes de Schubert, en particulier pour ceux exprimant les 
nombres de Bernoulli.  
Gessel et Viennot \cite{GV} utilisent quant \`a eux une combinatoire 
de chemins pour \'etudier ces 
d\'eterminants.

Comme pour les fonctions sym\'etriques, la th\'eorie peut se condenser
en l'existence d'un noyau de Cauchy 
$$K_n(X,Y):=\prod\nolimits_{i,j\, :\, i+j\leq n} (x_i-y_j)$$
qui g\'en\'eralise en fait le {\it r\'esultant} $\prod_{i,j}(x_i-y_j)$
(lequel est diagonal dans la base Schur). 

Notons qu'il est \'equivalent de consid\'erer $\prod_{i,j}(x_i-y_j)$ ou 
$\prod_{i,j}1/(1-x_iy_j)$. Par contre, la fonction 
$\prod_{i,j\, :\, i+j\leq n}1/(1-x_iy_j)$ 
fait intervenir les {\it polyn\^omes clefs}
(associ\'es aux diff\'erences divis\'ees {\it isobares})
et non les polyn\^omes de Schubert.

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