%%  GrothendieckFest.tex  Anneau de Grothendieck de la vari\'et\'e de
%% drapeaux, in {The Grothendieck Festtchrift}, vol III, Birkh\"auser(1990) 1-34
%% Archive AL/1990  [30dec01]  avec Fichier Hermes inclus         
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%%%    Fichier Hermes.tex 
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%���������������������� dactylographie fran�aise �����������������

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  plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}

\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
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              \noindent{\bf #1}
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              \penalty 1000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                 {\it #1}\pointir}

%les differents retraits, voir aussi \item

\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
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\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}

% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :

\def\titrea#1|#2|%
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  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -100
  \leftline{\bf #1}
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  \penalty 1000 }

\def\sectiona#1|%
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\long\def\th#1|#2\finth{\par\vskip 5pt
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\vskip 3pt}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\vskip 5pt
                    {\petcap #1.}\par\penalty 1000{\it #2}\par\vskip 3pt}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\vskip 5pt
                 {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\vskip 5pt
                 {{\it #1.}\par\penalty 1000}}

%__________________________________________________________________________

\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|%
{{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\penalty 1000\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\penalty 1000\ #7.\filbreak}}

%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|%
{{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\filbreak}}

%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|%
{{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\filbreak}}

\mathchardef\conj="0365

\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}

\def\proof{\par{\it Proof}\pointir}

\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

%\quad\hbox{\hskip 1pt\vrule width 4pt height 6pt
%depth 1.5pt\hskip 1pt}}

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\vskip 3pt}
\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}

\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

\def\dleqno#1|{\hfil\kern-\displaywidth\rlap{$#1$}\kern\displaywidth
  \hfilneg}

\def\@lign{\tabskip\z@skip\everycr={}}

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\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
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\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}

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%pour les restrictions des fonctions en mode centre et dans le texte

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}%
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen2=\ht1
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            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen2{}\right.$}}

\def\pv{\kern 2pt\string;\ }

\def\\#1{{\cal#1}}



%����������������������������������������������������������
% ��������������� pour qu'il la ferme ������������������� �
%����������������������������������������������������������

\showboxbreadth=-1  \showboxdepth=-1
%%%%%%%%%%%%%%%%   FIN DE FICHIER HERMES

\overfullrule 0mm

\titre{\bf ANNEAU DE GROTHENDIECK DE LA VARIETE DE DRAPEAUX\rm}|

\centerline{Alain Lascoux }

L.I.T.P., Universit\'e Paris 7,
2 Place Jussieu, 75251 Paris Cedex O5

\vskip 3mm
\it CLASSIFICATION NUMBERS \rm: 14M15, 14L35, 20G20.

\titre 0. Introduction |
Une vari\'et\'e de drapeaux relative se d\'ecompose en une suite de 
fibrations projectives ; la combinatoire de cette vari\'et\'e 
s'obtient donc \`a partir de celle du projectif. Bien plus, ainsi 
que l'ont montr\'e Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, on peut se 
r\'eduire \`a des fibrations projectives en droites, i.e. l'objet 
g\'eom\'etrique de base est la vari\'et\'e 
${\bboard P}(V)$ , o\`u $V$ est un fibr\'e 
vectoriel de rang 2, avec pour groupe asoci\'e le groupe sym\'etrique 
${\goth S}(2)$.

La g\'eom\'etrie ayant ainsi fourni des morceaux \'el\'ementaires, 
c'est \`a la combinatoire qu'il faut faire appel pour proc\'eder au 
recollement. Contrairement \`a Bernstein-Gelfand-Gelfand et 
Demazure, nous travaillons directement dans l'anneau des polyn\^omes 
plut\^ot que ses quotients que sont l'anneau de Grothendieck (des 
classes de fibr\'es vectoriels) ou l'anneau de cohomologie. Ce 
faisant, on obtient des bases (polyn\^omes de Schubert et polyn\^omes 
de Grothendieck) stables par ${\goth S}(n)\hookrightarrow {\goth S}(n+1)$ 
, compatibles aux vari\'et\'es de drapeaux partiels,
 unifiant la cohomologie et l'anneau 
de Grothendieck. 

Ces bases contiennent comme sous-famille les fonctions de 
Schur, i.e. les caract\`eres irr\'eductibles sur 
${\bboard C}$ du groupe lin\'eaire 
\big(pour des caract\`eres plus g\'en\'eraux, voir \bf[K-P]\big)\rm. Ce sont 
d'ailleurs les fonctions de Schur qui d\'ecrivent l'anneau de 
cohomologie de la grassmannienne : elles sont alors interpr\'et\'ees 
comme \it cycles de Schubert\rm.

Les fonctions de Schur peuvent s'obtenir, \`a la suite de 
Cauchy, par diagonalisation de la r\'esultante $\prod(a_i-b_j)$
 de deux ensembles d'ind\'etermin\'ees $\{ a_i\}$
 et $\{ b_j \}$. Les polyn\^omes de 
Schubert et Grothendieck s'obtiennent, quant \`a eux, \`a partir de 
${\bboard G}_\omega = \prod_{i+j\leq n}(1-b_j/a_i)$ ou  
${\bboard X}_\omega = \prod_{i+j\leq n}(a_i-b_j)$  \`a l'aide des op\'erateurs 
associ\'es aux fibrations en droites projectives mentionn\'ees 
ci-dessus (\`a peu de choses pr\`es, ces op\'erateurs ne sont autres que 
les \it diff\'erences divis\'ees de Newton\rm). La sp\'ecialisation 
$b_j \rightarrow 1$ de 
${\bboard G}_\omega$ (resp. ${\bboard X}_\omega$) est la classe d'un point dans 
l'anneau de Grothendieck (resp. de cohomologie). Il est remarquable qu'on 
puisse d\'eduire de la classe d'un point celle de toutes les 
vari\'et\'es de Schubert de la vari\'et\'e de drapeaux ${{\cal{F}}}$ . On comprend 
mieux ce fait en partant de  ${\bboard G}_\omega$ et ${\bboard X}_\omega$ plut\^ot que de 
leur sp\'ecialisation ; ${\bboard G}_\omega$ et ${\bboard X}_\omega$ sont en effet les 
classes de 
${{\cal{F}}}$ dans le plongement diagonal  
${{\cal{F}}} \hookrightarrow {{\cal{F}}} \times {{\cal{F}}} $. C'est pourquoi, autre 
diff\'erence avec Bernstein-Gelfand-Gelfand et Demazure, nous 
utilisons deux ensembles d'ind\'etermin\'ees plut\^ot qu'un, 
quoiqu'\'etudiant les m\^emes objets g\'eom\'etriques que ces auteurs. 
Pour ce qui est de la cohomologie, nous renvoyons \`a \bf[L2] \rm, \bf[L-S2] \rm.

Au paragraphe 1, nous donnons quelques 
propri\'et\'es du groupe sy\-m\'e\-tri\-que 
agissant sur l'anneau des polyn\^omes $\big($op\'erateurs de sym\'etrisation 
$\pi_\mu$ ,$ \mu\in {\goth S}({\bboard A}) \ \big)$.

Aux paragraphes 2 et 3, nous d\'efinissons les objets fondamentaux 
(polyn\^omes de Grothendieck) dont les classes sont les classes des 
faisceaux structuraux des vari\'et\'es de Schubert. Nous r\'esumons 
ensuite (th.2.8 et prop.3.4) toutes les propri\'et\'es combinatoires 
connues de l'anneau de Grothendieck de la vari\'et\'e de drapeaux pour 
le groupe lin\'eaire. Les points essentiels sont l'existence d'un 
produit scalaire pour lequel les $\pi_i$ sont auto-adjoints, et la 
remarque que tout permut\'e $({\bboard G}_\omega)^\mu $ de ${\bboard G}_\omega$ s'annule 
pour la sp\'ecialisation  $b_i \rightarrow a_i $ , sauf lorsque $\mu$ est la permutation 
maximale de ${\goth S}({\bboard A})$.

En 3.11, nous explicitons les permutations ("vexilaires") 
pour lesquelles le calcul est le m\^eme que dans le cas des 
grassmanniennes et conduit \`a des expressions d\'eterminantales.

Le th\'eor\`eme de Riemann-Roch pour la vari\'et\'e de drapeaux est 
associ\'e \`a l'op\'erateur de sym\'etrisation maximal $\pi_\omega$ . Nous nous en 
inspirons pour donner en 4.4 une propri\'et\'e des op\'erateurs plus 
g\'en\'eraux que sont les $\pi_\mu$.

Le plongement de Pl\"ucker (associ\'e au fibr\'e inversible $L^E$) 
poss\`ede une sym\'etrie (prop.5.2). Cette sym\'etrie, jointe au 
d\'ecompte de certaines familles de tableaux de Young, permet de 
calculer facilement les dimensions ("postulation") de l'espace des 
sections des puissances de $L^E$ au-dessus de toute vari\'et\'e de 
Schubert sans devoir recourir aux m\'ethodes des paragraphes 2 et 3.
La fonction g\'en\'eratrice des postulations est une fraction 
rationnelle $ {{\cal{E}}}_\mu(z)/(1-z)^{\ell(\mu)+1} $ 
dont le num\'erateur est une 
"z-extension" du degr\'e pour le plongement de Pl\"ucker 
\big(i.e. ${{\cal{E}}}_\mu(1)$ est le degr\'e projectif de la 
vari\'et\'e de Schubert d'indice $\omega\mu$ \big). 

Les polyn\^omes ${{\cal{E}}}_\mu(z)$
 admettent pour sous-famille remarquable les polyn\^omes d'Euler.

La structure multiplicative de l'anneau de cohomologie de la 
grassmannienne r\'esulte, ainsi que l'a montr\'e Giambelli \bf[Gi]  \rm des 
formules de Pieri : l'intersection d'un cycle de Schubert avec un 
cycle sp\'ecial est une somme sans multiplicit\'e de cycles de 
Schubert. Nous montrons que cette absence de multiplicit\'e est 
encore vraie dans l'anneau de Grothendieck de la vari\'et\'e de 
drapeaux. (th.6.4).

Au paragraphe 7, nous traduisons les r\'esultats obtenus en termes 
d'anneau de Grothendieck.
Z ! On note 1I, ..., nI   les composantes d'un vecteur $I \in {\bb{Z}}^n$
 ; une permutation $\mu\in {\goth S}(n)$ est consid\'er\'ee 
comme un morphisme de $\{ 1,...,n\}$ 
dans lui-m\^eme : $\{ 1,...,n\} \longrightarrow \{ 1\mu,...,n\mu\}$ .
 Les op\'erateurs op\`erent sur tout ce qui figure sur leur gauche . 
Ainsi, la 
proposition 4.4 que nous avons \'ecrite
$$f \pi_{\mu^{-1}} \varepsilon 
= f \, a^E \, \bf CH \rm\, {\goth {\goth{g}}}_{\omega\mu} 
\, u^{-\ell(\omega\mu)} \, \nabla^{\ell(\mu)} \, \partial_\omega \, \varepsilon / \, \ell(\mu) \, !$$
peut aussi se lire, si l'on pr\'ef\`ere, 
$$\varepsilon\big( \pi_{\mu^{-1} }(f)\big) =
{1\over \ell(\mu) !} \varepsilon\Biggl(\partial_\omega \biggl(
\nabla^{\ell(\mu)}\bigl( {1 \over u^{\ell(\omega\mu) }}
{\goth {\goth{g}}}_{\omega\mu}\cdot \bf CH\rm(a^Ef)
\bigr) \biggr) \Biggr)$$

\it La majeure partie des r\'esultats expos\'es est le fruit d'une 
collaboration soutenue avec M.P.Sch\"utzenberger. Ce travail fut 
compl\'et\'e lors d'un s\'ejour \`a l'Universit\'e de Moscou en novembre 87, 
pour lequel je remercie les Professeurs I.M.Gelfand et S.Gelfand, 
ainsi que l'Acad\'emie des Sciences d'URSS et le Minist\`ere des Affaires 
Etrang\`eres qui ont rendu mat\'eriellement possible ce voyage.


\rm\titre\bf1.  Op\'erateurs de sym\'etrisation \rm|

Soient $V$ un fibr\'e vectoriel de rang $n+1$ sur une base 
quelconque ${{\cal{M}}}$ , ${{\cal{F}}}(V)$ la vari\'et\'e des drapeaux 
(complets) de $V$ . La fibration 
${{\cal{F}}}(V) \longrightarrow {{\cal{M}}} $ se d\'ecompose en une suite de fibrations en 
projectifs (cf.\bf[Gr1]\rm), ce qui permet de d\'ecrire ais\'ement l'anneau de 
Grothendieck et l'anneau de cohomologie de 
${{\cal{F}}}(V)$ \`a partir de ceux 
du projectif. Cette fibration donne $n+1$ fibr\'es inversibles 
$L_1 , \ldots, L_{n+1}$  sur ${{\cal{F}}}(V)$ , dits \it tautologiques .

\rm L'anneau de Grothendieck $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$
 des modules coh\'erents sur ${{\cal{F}}}(V)$ est le 
quotient de l'anneau des polyn\^omes (de \it Laurent) \rm$\bf K\rm[{\bboard A}] = $ 
$ {\bf K\rm[a_1,1/a_1 ,\ldots,a_{n+1},1/a_{n+1}]}$
 par l'id\'eal ${{\cal{J}}}$ engendr\'e par la 
relation  $V= a_1+\cdots+a_{n+1}$ \big(en tant que $\lambda$-anneau\big) , 
o\`u $\bf K\rm$ est 
l'anneau de Grothendieck de ${{\cal{M}}}$ . La classe de chaque $L_i$
 co\"{\i}ncide avec l'image de $a_i$ dans $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ .

Toutes les constructions donn\'ees dans cet article \'etant 
compatibles avec le passage au quotient par ${\cal{J}}$ , nous travaillerons 
d\'esormais dans l'anneau des polyn\^omes $\bf K\rm[{\bboard A}]$ et ne fournirons la 
traduction dans $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ des propri\'et\'es obtenues qu'au dernier 
paragraphe.

La fibration ${{\cal{F}}}(V) \longrightarrow {{\cal{M}}} $ induit le morphisme :
$$       \bf K\rm[{\bboard A}] \ni f \longrightarrow \sum_\mu \big( f / \prod_{i<j}(1-a_j/a_i) \big)^\mu 
\leqno \bf(1.1) \rm$$
somme sur toutes les permutations $\mu \in {\goth S}({\bboard A})$ , c'est-\`a-dire 
les permutations de ${\bboard A} = \{ a_1,\ldots, a_{n+1}\}$ .

En tant qu'op\'erateur sur l'anneau des polyn\^omes, le morphisme 
pr\'ec\'edent \'etait utilis\'e par Jacobi pour d\'efinir les fonctions 
sym\'etriques que l'on a appel\'e par la suite \it fonctions de Schur
 \rm(\it cf. \rm\bf[Ma \rm, I.3.1\bf] \rm). L'interpr\'etation g\'eom\'etrique donne une 
factorisation de ce morphisme 
en un produit d'op\'erateurs \'el\'ementaires correspondant \`a des fibrations 
projectives de dimension 1, ansi que l'ont montr\'e \bf[B-G-G] \rm et \bf[D3]\rm.

Plus pr\'ecis\'ement, pour tout ensemble d'ind\'etermin\'ees 
totalement ordonn\'e (dit \it alphabet\rm) ${\bboard A} = \{a_1<\ldots<a_{n+1}\}$
 , pour tout $p, 1\leq p\leq n$ , notant $\sigma_p$ 
la transposition \'echangeant $a_p$ et $a_{p+1}$ , 
on d\'efinit le \it sym\'etriseur isobare \'el\'ementaire  \rm$\pi_p = \pi_{\sigma_p }$ :
$$  \bf K\rm[{\bboard A}] \ni f \longrightarrow (a_p f)(\sigma_p-1) / (a_{p+1}- a_p)  =  f \pi_p 
\leqno \bf(1.2) \rm$$

c'est-\`a-dire, plus explicitement,
$$f \longrightarrow { a_{p+1}f(\ldots a_{p+1},a_p \ldots ) 
- a_pf(\ldots a_p,a_{p+1} \ldots )
\over a_{p+1}-a_p} = f \pi_p $$

Les sym\'etriseurs \'el\'ementaires v\'erifient les relations de 
Moore/Coxeter :
$$\cases{
\ \pi_p \pi_q = \pi_q \pi_p    & si $|p-q| \geq2 $ \cr
\ \pi_p \pi_{p+1} \pi_p = \pi_{p+1} \pi_p \pi_{p+1} & \cr
} \leqno \bf(1.3) \rm$$

Ces relations entrainent que les produits de sym\'etriseurs 
\'el\'ementaires correspondent aux permutations, ainsi que l'indique 
le lemme suivant (th.1 de \bf[D2] 
\rm qui \'ecrit $L_\mu^0$  au lieu de $\pi_\mu$) :
\th \bf Lemme 1.4 \rm|  Pour toute permutation 
$\mu \in{{\goth S}}({\bboard A})$ ,
 toute d\'ecomposition r\'eduite 
$\mu = \sigma \sigma' ... \sigma" $ , alors le produit  $\pi_\sigma \pi_{\sigma'}\cdots \pi_{\sigma"} $ 
ne d\'epend que de $\mu$  ; il est not\'e $\pi_\mu$. \finth

Soit $\omega$ l'\'el\'ement de longueur maximum de 
${{\goth S}}({\bboard A})$ ; 
alors le sym\'etriseur $\pi_\omega $ co\"{\i}ncide avec l'op\'erateur d\'efini en 1.1  
(cf.\bf[L-S2]\rm, 1.9) .

Notons ${\bboard A}_p$ le sous-alphabet 
${\bboard A}_p = \{a_1 , \ldots, a_p\}$
 et soient $S_j({\bboard A}_p)$ les \it fonctions sym\'etriques 
compl\`etes \rm(ou \it fonctions alephs \rm de 
Wronski) d\'efinies par la s\'erie g\'en\'eratrice 
$$      \sum_{-\infty}^{+\infty}z^jS_j({\bboard A}_p) 
= 1/(1-za_1) \cdots (1-za_p).
\leqno \bf(1.5) \rm$$

Ces fonctions sont pr\'eserv\'ees par les $\pi_p$ :
\th \bf Lemme 1.6 \rm|  1)  Pour tout $p : 1\leq p\leq n$ ,
 toutes $f, g$ dans ${\bboard Z}[{\bboard A}]$ , 
$$ g = g \sigma_p  \Rightarrow fg \pi_p = f \pi_p g$$
           2)  Pour tout $j \in {\bboard Z}$ ,
$$S_j({\bboard A}_p) \pi_p  =  S_j({\bboard A}_{p+1})  $$   \finth

\vskip 3mm
\it Preuve\rm.  Le morphisme 1.2 commute avec la multiplication par les fonctions 
sym\'etriques en $a_p$ et $a_{p+1}$ . On a donc 
$\big(1\big/(1-za_1)\* \cdots * (1-za_p)\big) \, \pi_p =
 \big(1\big/(1-za_p)\big)\,  \pi_p \* \, \big(1\big/(1-za_1)...(1-za_{p-1})\big) =
\big(1\big/(1-za_p)(1-za_{p+1})\big)\* \big(1\big/(1-za_1)...(1-za_{p-1})\big)   $ \quad \qed 

Plus g\'en\'eralement, \'etant donn\'es deux alphabets ${\bboard A}$ et 
${\bboard B}$ , les \it fonctions compl\`etes \rm$S_j({\bboard A}-{\bboard B})$ 
sont d\'efinies par la s\'erie g\'en\'eratrice
$$      \sum_{-\infty}^{+\infty}z^jS_j({\bboard A}-{\bboard B}) 
= \prod_{b\in{\bb{B}}}(1-zb)/\prod_{a\in{\bb{A}}}(1-za)
\leqno \bf(1.7) \rm$$

Pour tout $r$ , tout $I = (1I, 2I, ..., rI)$
 dans ${\bboard Z}^r$ , tout r-uple de paires d'alphabets 
$(A^1, {\bboard B}^1) , \ldots , ({\bboard A}^r, {\bboard B}^r)$ , la 
\it fonction de Schur \rm$S_I({\bboard A}^1-{\bboard B}^1, 
\ldots , {\bboard A}^r-{\bboard 
B}^r)$ est le d\'eterminant
$$      S_I({\bboard A}^1-{\bboard B}^1,
\ldots , {\bboard A}^r-{\bboard B}^r) = 
\big\vert S_{kI+k-h}({\bboard A}^k-{\bboard B}^k) \big\vert_{1\leq h,k\leq n}
\leqno \bf(1.8) \rm$$

Lorsque $0\leq1I\leq\cdots \leq rI$ et que  
${\bboard A}^1 = \ldots = {\bboard A}^r 
= {\bboard A} , {\bboard B}^1 = \ldots = 
{\bboard B}^r = O$ 
, le d\'eterminant  $S_I({\bboard A} , \ldots , {\bboard A}) = 
S_I({\bboard A})$ est la fonction de 
Schur classique sur l'alphabet ${\bboard A}$ , d'indice la partition 
$I$ (cf. \bf[Ma]\rm, p.25). 

Un mon\^ome $a^I$ , pour tout $I$ dans ${\bb{N}}^{n+1}$ , 
peut se repr\'esenter comme une fonction de Schur :
$$      S_{I\omega} \big({\bboard A}_{n+1} ,\ldots , {\bboard A}_1\big)  
= a_{n+1}^{(n+1)I} \, a_n^{nI} \, \cdots \, a_1^{1I}
\leqno \bf(1.9) \rm$$

En effet, comme $S_j({\bboard A} \setminus \{a_1\}) 
= S_j({\bboard A}) - a_1 S_{j-1}({\bboard A})$ , en 
soustrayant \`a chaque ligne (sauf la derni\`ere) 
$a_1$ fois la suivante, on 
transforme le d\'eterminant en le produit d'un d\'eterminant 
d'ordre $n$ du m\^eme type par 
$S_{(n+1)I}(a_1) = a_1^{(n+1)I}$ \quad \qed

Par exemple, \'ecrivant $a, b, c$ pour $a_1 , a_2 , a_3 $, on a 
$c^2b^0a^4 = S_{204} ({\bboard A}_3 , {\bboard A}_2 , {\bboard A}_1) =
\left| \matrix{
S_2({\bboard A}_3) &S_1({\bboard A}_2) &S_6({\bboard A}_1) \cr
S_1({\bboard A}_3) &S_0({\bboard A}_2) &S_5({\bboard A}_1) \cr
S_0({\bboard A}_3) &S_{-1}({\bboard A}_2) &S_4({\bboard A}_1) \cr
}\right|  
= \left| \matrix{
a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc &a+b &a^6  \cr
a+b+c &1 &a^5 \cr
1 &0 &a^4 \cr
}\right|  $.

Dans le cas o\`u ${\bboard A}^{(1)} = {\bboard A}_p $, et o\`u 
${\bboard A}^{(2)}, \ldots, {\bboard A}^{(n+1)} , {\bboard B}^{(1)}, \ldots, 
{\bboard B}^{(n+1)}$
 sont invariants par la 
transposition $\sigma_p$ , alors pour tout $I \in {\bb{N}}^{n+1}$ :
\vskip 2mm
$$    S_I \big({\bboard A}_p- {\bboard B}^{(1)},
\ldots , {\bboard A}^{(n+1)}- {\bboard 
B}^{(n+1)}\big) \pi_p =
  S_I \big({\bboard A}_{p+1}- {\bboard B}^{(1)}
, \ldots , {\bboard A}^{(n+1)}- {\bboard B}^{(n+1)}\big) 
\leqno \bf(1.10) \rm$$
puisque les fonctions invariantes par $\sigma_p$ sont des scalaires pour $\pi_p$ et 
puisqu'en outre  $S_j({\bboard A}_p) \pi_p = S_j({\bboard A}_{p+1})$ 
d'apr\`es 1.6 .

Il existe des op\'erateurs sur l'anneau des polyn\^omes plus 
g\'en\'eraux que les $\pi_p$ et v\'erifiant les relations de Moore/Coxeter ; ils sont 
d\'ecrits dans \bf[L-S5] \rm. Comme cas particulier de ces op\'erateurs, on a les 
\it diff\'erences divis\'ees \rm$\partial_p $ :
$$     f--\longrightarrow f(\sigma_p-1)\bf/\rm(a_{p+1}-a_p) = 
   \big(f(\ldots a_{p+1},a_p\ldots ) - 
f(\ldots a_p,a_{p+1}\ldots )\big)/(a_{p+1}-a_p) = f \partial_p
\leqno \bf(1.11) \rm$$

not\'ees $ A_{\alpha_p}$ par \bf[B-G-G]\rm, $\Delta_{\alpha_p}$
 par \bf[D1]\rm, p.289 et $D_{\sigma_p}$  par \bf[D3]\rm, p.78.

 On a aussi les op\'erateurs 
$\psi_p = \pi_p - 1$  $\big($c'est-\`a-dire 
$\pi_p$ - {\it identit\'e}  $\big)$ et les op\'erateurs 
$\Xi_p = \pi_p - \partial_p $. En fait, $\Xi_p$ 
n'est autre que l'image de $\pi_p$ par le changement de variable  
$a_1 \longrightarrow 1 - a_1, \ldots , a_{n+1} \longrightarrow 1-a_{n+1}$

Par produit, on dispose donc d'op\'erateurs 
$\partial_\mu  , \Xi_\mu $ et $\psi_\mu $pour $\mu \in {\goth S}({\bboard A})$ .

Les permutations $\mu\in{\goth S}({\bboard A}_n)$ sont consid\'er\'ees comme 
des morphismes  $\mu : 
\{a_1 ,\ldots, a_n\} \longrightarrow \{1\mu ,\ldots, n\mu\}$
 ou comme des mots dans le mono\"\i de sur ${\bboard A}$ : 
$\mu = (1\mu)(2\mu)...(n\mu)$ . 
Une permutation peut en outre se repr\'esenter par son 
\it code \rm$J = (1J, ..., nJ) \in {\bb{N}}^n$ :
$$     \forall h:1\leq h\leq n ,\quad  hJ = card\{ k: k>h \ \& \ k\mu<h\mu \} 
\quad . \leqno \bf(1.12) \rm$$

La \it longueur \rm$\ell(\mu)$ d'une permutation est la somme des composantes de 
son code : $\ell(\mu) = 1J + ... + nJ$ ; c'est le degr\'e minimum d'une 
d\'ecomposition de $\mu$ comme produit de transpositions simples.

Ainsi $\mu : \{a_1 ,\ldots, a_6\} \longrightarrow 
\{a_4,a_1,a_3,a_6,a_2,a_5\}$ est not\'ee comme le mot  
$a_4a_1a_3 a_6a_2a_5 $, a pour code 
301200  et pour longueur 3+0+1+2+0+0 = 6 .

Si le code $J$ de $\mu$ est d\'ecroissant ( on dit \it dominant \rm par 
r\'ef\'erence \`a la th\'eorie des \it poids\rm) : $1J\geq ... \geq nJ$
, $\mu$ est dite \it dominante \rm.

Le groupe sym\'etrique ${\goth S}({\bboard A}_n)$ est canoniquement plong\'e 
dans ${\goth S}({\bboard A}_{n+1})$ par adjonction du point fixe $a_{n+1}$ , i.e. 
$${\goth S}({\bboard A}_n) \ni (1\mu)...(n\mu) \longrightarrow (1\mu)...(n\mu)(a_{n+1}) \in {\goth 
S}({\bboard A}_{n+1})$$

L'ordre d'Ehresmann/Bruhat sur le groupe sym\'etrique est 
d\'efini par comparaison des \it facteurs gauches \rm des permutations :
$\mu, \eta \in{\goth S}({\bboard A}_n),  \mu\leq\eta$ si et seulement si, pour tout 
$p$ tel que $1\leq p\leq n$ , le vecteur 
r\'eordonn\'e en croissant de 
$\{1\mu ,\ldots, p\mu\}$ est inf\'erieur, composante \`a 
composante, au vecteur r\'eordonn\'e en croissant de 
$\{1\eta ,\ldots, p\eta\}$  (\cf \bf[E] \rm). 
La comparaison des facteurs droits des 
permutations donnerait le m\^eme ordre. 
Un raffinement en est d\'ecrit dans la note 2.

Ainsi, les r\'eordonn\'es des facteurs droits succesifs des 
permutations 2314, 4132, 4231 sont respectivement
$$ \matrix{
\mu &= 2314  &\longrightarrow  &2, &23, &123, &1234\cr
\nu &= 4132  &\longrightarrow  &4, &14, &134, &1234\cr
\zeta &= 4231  &\longrightarrow  &4, &24, &234, &1234\cr }$$
et l'on a donc $\mu<\zeta , \nu<\zeta $, mais non 
$\mu<\nu$ puisque 23 et 14 ne sont pas comparables.

\th \bf Lemme 1.13 \rm| Pour toute permutation 
$\mu \in {\goth S}({\bboard A}) $,
$$\pi_\mu = \sum_{\eta\leq\mu}  \psi_\eta   \quad   \&  \quad
\psi_\mu = \sum_{\eta\leq\mu} (-1)^{\ell(\mu)-\ell(\eta)} \pi_\eta $$ \finth

\it Preuve\rm.  On a la propri\'et\'e d'\'echange \bf[B]\rm, IV.1.5) : 
$\nu, \eta \in{\goth S}({\bboard A}), \sigma$ simple, $\nu<\eta , \nu<\nu\sigma , \eta\sigma<\eta 
\Rightarrow \nu\sigma\leq\eta \ \& \ \nu\leq\eta\sigma $. Soient donc 
$\mu\in{\goth S}({\bboard A}), \sigma$ transposition simple telle que 
$\ell(\mu\sigma)>\it l\rm(\mu)$. D'apr\`es la propri\'et\'e 
d'\'echange, $\zeta\leq\mu\sigma \ \& \ 
\zeta \not\leq \mu \Rightarrow \zeta\sigma<\zeta \& \zeta\sigma\leq\mu $. 
Ceci donne une description du 
compl\'ementaire de l'intervalle 
$[id,\mu]$ dans l'intervalle $[id,\mu\sigma]$
 ; ajoutant que $\pi_\sigma \pi_\sigma = \pi_\sigma $,
 on en d\'eduit le lemme . \quad \qed

Soient $E = (n, n-1,\ldots, 1, 0) \in {\bb{N}}^{n+1}$ , et 
$\clubsuit$  l'involution   
${\bboard A} \rightarrow {\bboard A}^{-1}\omega $, i.e.  
$a_j\rightarrow 1/a_{n+2-j}  , 1\leq j\leq n+1 $. Se reportant 
\`a la d\'efinition 1.2, on voit que les op\'erateurs \'el\'ementaires v\'erifient
$$     \omega \, a^{-E} \, \pi_j \, a^E \, \omega 
= -\,  \psi_{\omega\sigma_j\omega} \quad , \leqno \bf(1.14) \rm$$
$$    \clubsuit \, \pi_j \, \clubsuit  
\, =  \, \pi_{\omega\sigma_j\omega}  \quad . \leqno \bf(1.15) \rm$$

Par produit, on a donc les deux involutions suivantes :
\th \bf Lemme \rm|  Pour tout $\mu\in{\goth S}({\bboard A}) $, on a
$$   \omega \, a^{-E} \, \pi_\mu \, a^E \, \omega  
=  (-1)^{\ell(\mu)} \, \psi_{\omega\mu\omega}  \leqno \bf(1.16) \rm$$
$$  \clubsuit \ \pi_\mu\, \clubsuit  
\, =  \, \pi_{\omega\mu\omega}  \quad . \leqno \bf(1.17) \rm$$
\finth


\titre \bf2. \rm\quad \bf Polyn\^omes de Grothendieck \rm|

$\bf K\rm[{\bboard A}]$ est un module libre sur l'anneau des polyn\^omes de 
Laurent sym\'etriques 
en ${\bboard A}$ ; une base de ce module 
consiste en les \it Polyn\^omes de Schubert 
\rm(cf.\bf[L-S1]\rm) dont les classes dans l'anneau de 
cohomologie de ${{\cal{F}}}(V)$ sont 
les \it cycles de Schubert. \rm Nous d\'efinisssons dans 
ce paragraphe une base plus 
adapt\'ee \`a l'anneau de Grothendieck.

Soient ${\bboard B} = \{b_1,\ldots, b_{n+1}\}$
 un deuxi\`eme alphabet de m\^eme cardinal que 
${\bboard A}$ , $ \bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}]$ l'anneau des 
polyn\^omes de Laurent en ${\bboard A}$ et ${\bboard B}$ . 
On d\'efinit les \it Polyn\^omes (doubles) de 
Grothendieck \rm${\bboard G}_\mu , �\in{\goth S}({\bboard A})$, par :
$$\cases{
\ {\bboard G}_\omega = \prod_{i+j\leq n+1} (1- b_i /a_j) & \cr
\noalign{\vskip 2pt}
\qquad {\bboard G}_\mu = {\bboard G}_\omega \, \pi_{\omega\mu} & \cr }
\leqno \bf(2.1) \rm$$

\noindent
o\`u  $\pi_{\omega\mu}$ est l'op\'erateur associ\'e \`a la permutation 
$\omega\mu \in {\goth S}({\bboard A})$ ; on aura \`a l'esprit que les op\'erateurs 
$\pi_{\omega\mu}$ sont $\bf K\rm[b_1 ,\ldots, 1/b_{n+1}]$-lin\'eaires. 
Le \it polyn\^ome de Grothendieck (simple) \rm$G_\mu$
 est l'image par la 
sp\'ecialisation $\varepsilon_{\bb{B}} :  b_1= \cdots = b_{n+1} = 1$
 de ${\bboard G}_\mu$ , i.e.  $G_\mu = {\bboard G}_\mu \varepsilon_{\bb{B}}$. 

Il est clair qu'une fonction sym\'etrique en 
$a_p$ et $a_{p+1}$ est pr\'eserv\'ee 
par $\pi_p$ ; on a donc pour toute $\mu\in{\goth S}({\bboard A})$
, tout $p$ tel que $1\leq p\leq n$ :
$$   p\mu < (p+1)\mu   \Rightarrow   {\bboard G}_\mu 
= {\bboard G}_\mu \sigma_p = {\bboard G}_\mu \pi_p
\quad . \leqno \bf(2.2) \rm$$

Similairement, les \it polyn\^omes adjoints 
\rm${\bboard H}_\mu$ , pour $ \mu\in{\goth S}({\bboard A})$, sont d\'efinis par
$${\bboard H}_\omega \, = \, \prod_{i+j\leq n+1} ( 1 - a_{n+2-i}/b_j) 
\quad , \leqno \bf(2.3) \rm$$
$$    {\bboard H}_\mu \, = \, {\bboard H}_\omega \, \psi_{\omega\mu}  \quad . \leqno \bf(2.4)  \rm$$

Sur $\bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}]$ on d\'efinit le 
produit scalaire  $\bf<.\rm\bigm|\bf.>\rm$ par
$$ P, Q \in \bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}]
\quad \Rightarrow \quad \bf<\rm P\bigm|Q\bf> \rm= PQ \, \pi_\omega \leqno \bf(2.5) \rm$$

Aux notations pr\`es, c'est le produit scalaire utilis\'e dans 
\bf[L-S1]\rm, \bf[L-S2]\rm.

D'apr\`es 1.1), on peut calculer $\pi_\omega$ en 
sommant sur toutes les permutations $\mu$ 
dans ${\goth S}({\bboard A})$ :
$$    \bf<\rm P\bigm|Q\bf>  \rm=  \sum_\mu \big(\,  PQ \big/
\, \prod_{i<j}(1-a_j/a_i)\, \big) \, \mu  \leqno \bf(2.6) \rm$$
\th \bf Lemme 2.7 \rm|   Pour tout $\mu$ dans 
${\goth S}({\bboard A})$, les op\'erateurs $\pi_\mu$ et $\pi_{\mu^{-1}}$  
sont adjoints. \finth

\it Preuve\rm. Les op\'erateurs $\pi_\mu$ s'\'ecrivent comme produit d'op\'erateurs 
\'el\'ementaires ; il suffit donc de d\'emontrer le lemme pour 
ceux-ci. On veut donc pour tout $i$, tous 
$P,Q \in \bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}] $, l'identit\'e 
$\bf<\rm P\pi_i|\,~Q\bf> \rm=$ $ \bf<\rm P|\,~Q\pi_i\bf>\rm$ ; c'est bien ce 
que donne la suite d'\'egalit\'es  
$$\displaylines{\qquad 
\bf<\rm P\pi_i\bigm|Q\bf>\rm\,  = P\, \pi_i\, Q\, \pi_\omega \, {\buildrel 1 \over =} \, 
 (P\pi_i)\, Q\, \pi_i \, \pi_\omega \, {\buildrel 2 \over =} \, \hfill \cr
\hfill  Q\, \pi_i\, (P\pi_i)\, \pi_\omega 
\, {\buildrel 1 \over =}\, Q\, \pi_i\, P\, \pi_\omega =\,  \bf<\rm Q\pi_i\bigm|P\bf> \rm\qquad \cr }$$
    les \'egalit\'es 
${\buildrel 1 \over =}$  provenant de $\pi_i\,  \pi_\omega = \pi_\omega$
  et ${\buildrel 2 \over =}$ de ce que $P\pi_i$ est un scalaire pour 
l'op\'erateur $\pi_i$ , \'etant sym\'etrique en 
$a_i$ et $a_{i+1}$ .  \quad \qed 

Le th\'eor\`eme suivant montre que les 
${\bboard H}_\mu$ sont la base adjointe des polyn\^omes de Grothendieck 
${\bboard G}_\eta$ 
$\big($ on note $\theta$ la sp\'ecialisation  $b_1 \rightarrow a_1 , 
\ldots, b_{n+1} \rightarrow a_{n+1} $ ; $\omega\theta\omega$ est donc la 
sp\'ecialisation ${b_1\rightarrow a_{n+1}} , \ldots,
  {b_{n+1} \rightarrow a_1} \  \big)$.

\setbox3=\hbox{1 ou 0 selon que $\mu = \zeta$ ou non}
\th \bf THEOREME 2.8 \rm|
$$ \forall P\in\bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}] \qquad ,
 \qquad  P\, {\bboard G}_\omega \, \pi_\omega \, \theta = P\, \omega\theta\omega  
\leqno 1) $$
$$ \forall P\in\bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}] \qquad 
, \qquad  P\, {\bboard H}_\omega \, \pi_\omega \, \theta = P \, \theta 
\leqno 2) $$
$$ \forall\, \mu, \zeta \in {\goth S}({\bboard A}) \ , \  
\bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu} \bigm| {\bboard G}_\zeta\bf> \rm= 
\box3 \leqno 3) $$
$$ \forall\, P\in\bf K\rm[{\bboard A},{\bboard B}] \ ,\  P 
= \sum_{\mu\in{\goth{S}}({\bb{A}})}P\, {\bboard H}_{\omega\mu} \, \pi_\omega \, {\bboard G}_\mu 
= \sum_\mu P \, \psi_\mu \, {\bboard H}_\omega \, \pi_\omega \, {\bboard G}_{\mu^{-1}} 
\leqno 4) $$  \finth

\it Preuve\rm.
Pour \it1) \rm et \it2) \rm, on remarque que $\mu \neq \omega  \Rightarrow 
{\bboard G}_\omega \mu\theta = 0$ et $\mu \neq \omega\omega 
\Rightarrow {\bboard H}_\omega \mu\theta = 0$. Calculant l'action de l'op\'erateur 
$\pi_\omega\theta$ \`a l'aide de 2.6, on voit que la sommation 
pour le polyn\^ome $P{\bboard G}_\omega$ (resp. $P{\bboard H}_\omega$ )
se r\'eduit \`a un seul terme. \quad \qed

On d\'emontre \it3) \rm par r\'ecurrence sur la longueur de $\mu$ . 
Tout d'abord $\bf<\rm{\bboard G}_\zeta\bigm| {\bboard H}_\omega)  = 0$ si 
$\zeta \neq \omega\omega $~; en effet, d'apr\`es \it2) \rm, 
$\bf<\rm{\bboard G}_\zeta\bigm| {\bboard H}_\omega\bf> \rm= {\bboard G}_\zeta \, \theta$
  s'exprime en fonction des ${\bboard G}_\omega 
\, \mu\, \theta , \mu\leq \omega\zeta$ , et $\mu \neq \omega 
\Rightarrow {\bboard G}_\omega\, \mu\, \theta = 0$ ainsi 
que nous l'avons d\'ej\`a remarqu\'e. En outre 
${\bboard G}_{\omega\omega} = 
1 = \bf<\rm{\bboard G}_{\omega\omega}\bigm| {\bboard H}_\omega\bf>\rm$. Soit donc 
$\mu$ telle que pour tout $\zeta \neq \mu$ , on ait 
$\bf<\rm{\bboard G}_\zeta\bigm| {\bboard H}_{\omega\mu}\bf> \rm= 0 $
et telle que $\bf<\rm{\bboard G}_\mu\bigm| {\bboard H}_{\omega\mu}\bf> \rm= 1$ . Soit alors 
$\sigma = \sigma_i$ une transposition 
simple telle que $\ell(\mu\sigma) > \ell(\mu)$. 
Alors  ${\bboard H}_{\omega\mu\sigma} = {\bboard H}_{\omega\mu} \psi_i$ et donc 
$$ \bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu\sigma}\big| {\bboard G}_\zeta\bf>
\rm= \bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu}\big|{\bboard G}_\zeta\psi_i\bf> \rm=
\cases{ \bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu} | {\bboard G}_{\zeta\sigma}
-{\bboard G}_\zeta\bf> \rm&si $\ell(\zeta\sigma) < \ell(\zeta)$ \cr
\noalign{\vskip 2pt}
\bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu} |\, 0 \bf> \rm&sinon \cr } $$

\noindent
puisque  ${\bboard G}_\zeta \pi_i = {\bboard G}_{\zeta\sigma}$ 
ou ${\bboard G}_\zeta$ 
suivant que $\ell(\zeta\sigma) < \ell(\zeta)$ ou non. On ne peut 
donc esp\'erer de non nullit\'e que lorsque $\zeta\sigma$
 ou $\zeta$ est \'egale \`a $\mu$ ;
il reste seulement \`a constater que 
$\bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu\sigma} \bigm| {\bboard G}_\mu\bf> 
\rm= 0$ puisque $\ell(\mu\sigma) > \ell(\mu)$ 
et que $\bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu\sigma} \bigm| {\bboard G}_{\mu\sigma}\bf> 
\rm= \bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu} \bigm| {\bboard G}_\mu-{\bboard G}_{\mu\sigma}\bf> 
\rm= \bf<\rm{\bboard H}_{\omega\mu} \bigm| {\bboard G}_\mu\bf> \rm= 1 $.   \quad \qed

Enfin, le d\'eveloppement $P = \sum P {\bboard H}_{\omega\mu} 
\pi_\omega {\bboard G}_\mu$
 est une re\'ecriture de ce que 
${\bboard H}_{\omega\mu}$ et ${\bboard G}_\mu$ sont des bases adjointes : 
$P = \sum \bf<\rm P\bigm|{\bboard H}_{\omega\mu}\bf> 
\rm{\bboard G}_\mu $ ; comme $\bf<\rm P\bigm|{\bboard H}_{\omega\mu}\bf> \rm= 
\bf<\rm P\bigm|{\bboard H}_\omega \psi_\mu\bf> \rm= 
\bf< \rm P \psi_{-1} \bigm| {\bboard H}_\omega \bf>\rm$ 
, on peut aussi \'ecrire $P = \sum_\mu P \psi_{\mu^{-1}} 
{\bboard H}_\omega \pi_\omega {\bboard G}_\mu $, 
ce qui termine la d\'emonstration du th\'eor\`eme     \quad \qed \qed

\vskip 3mm
Les polyn\^omes ${\bboard H}_\omega$ et ${\bboard G}_\omega$ 
sont \'echang\'es par l'involution $\clubsuit$ : 
$a_i \rightarrow 1/a_{n+2-i} \, , \,  b_j \rightarrow 1/b_j $ , dont nous avons 
au paragraphe 1 consid\'er\'e la 
restriction \`a $\bf K\rm[{\bboard A}]$. Plus g\'en\'eralement :
\th \bf Lemme 2.9 \rm|  Pour toute $\mu\in {\goth S}({\bboard A})$ on a
$$    {\bboard H}_\omega \, \pi_\mu  =  
{\bboard G}_{\mu\omega} \, \clubsuit \leqno 1) $$
$$     (-1)^{\ell(\omega\mu)} {\bboard H}_{\omega\mu} \, \omega  
=  {\bboard G}_{\omega\mu} \, a^E \, b^{-E} \leqno 2)  $$ \finth
\it Preuve. \rm On vient de remarquer que 
${\bboard H}_\omega = {\bboard G}_\omega \, \clubsuit$ 
; il s'ensuit que 
${\bboard H}_\omega \, \pi_\mu = {\bboard G}_\omega \, \clubsuit 
\, \pi_\mu \, \clubsuit \, \clubsuit 
= {\bboard G}_\omega \, \pi_{\omega\mu\omega} \, \clubsuit $ 
, d'apr\`es 1.7, ce qui donne \it i)\rm.
Par ailleurs, $\displaystyle{(-1)^{\ell(\omega\mu)} {\bboard H}_{\mu\omega} \, \omega 
= (-1)^{\ell(\omega\mu)} {\bboard H}_\omega \, \psi_{\omega\mu\omega} \, \omega }$ , expression 
que l'on transforme gr�ce \`a 1.16 en 
$\displaystyle{(-1)^{\ell(\omega)} {\bboard H}_\omega \, \omega \, a^{-E} \, 
\pi_\mu \, a^E \, \omega \, \omega = 
{\bboard G}_\omega \, b^{-E} \, \pi_\mu \, a^E }$
$= {\bboard G}_{\omega\mu} \, a^E \, b^{-E}   \quad . \qed $

\vskip 3mm
Le polyn\^ome  ${\bboard G}_\omega$  est un 
produit de facteurs lin\'eaires et 
cette propri\'et\'e est partag\'ee par les polyn\^omes 
${\bboard G}_\mu$ suivants :

\th \bf Lemme 2.10 \rm|  Soit $\mu$  une permutation dominante de code 
$J$ (i.e. telle que  $1J\geq 2J \geq \cdots$ ). Alors
$$  {\bboard G}_\mu = (1-b_1/a_1)\cdots (1-b_{1J}/a_1) (1-b_1/a_2)
\cdots(1-b_{2J}/a_2) \cdots \quad . $$ \finth

\it Preuve.  \rm On peut trouver une cha\^\i ne, de $\omega$ \`a $\mu$
,  de permutations dominantes. On est donc ramen\'e 
par r\'ecurrence \`a calculer $ {\bboard G}_{\mu\sigma} = {\bboard G}_\mu \,\pi_p$ 
 pour $\mu$ dominante et $p$ 
tel que  $pJ = (p+1)J +1 $. Comme alors ${\bboard G}_\mu/(1-b_{pJ}/a_p)$ 
est sym\'etrique en $a_p$ et $a_{p+1}$
 , c'est donc $(1-b_{pJ}/a_p) \, \pi_p 
\, {\bboard G}_\mu/(1-b_{pJ}/a_p)  $ .   \quad \qed

\vskip 3mm
\it Exemple\rm. Pour ${\goth S}(3)$, on a les polyn\^omes de Grothendieck 
suivants, en \'ecrivant ${\bboard A} = \{a,b,c\}$ et 
${\bboard B} = \{x,y,z\} $:

\vskip 3mm
\setbox21=\hbox{${\bboard G}_{321}=(1-{x \over a })$}
\setbox22=\hbox{\kern 1cm $(1-{x \over b })(1-{y \over a }) $}
\setbox2=\vbox{\box21 \box22}
\setbox31=\hbox{$ \pi_1 $}
\setbox32=\hbox{$\, \swarrow$}
\setbox3=\hbox{\kern 25mm{\raise 3mm\box31}\box32}
\setbox41=\hbox{$ \searrow$}
\setbox42=\hbox{$\, \pi_2$}
\setbox4=\hbox{\kern -25mm{\box41 \raise 3mm\box42}}
\setbox5=\hbox{${\bboard G}_{231}=(1-{x \over a })
(1-{x \over b }) $}
\setbox6=\hbox{$(1-{x \over a })(1-{y \over a })
= {\bboard G}_{312} $}
\setbox7=\hbox{$\pi_2 \, \downarrow$}
\setbox8=\hbox{$\downarrow \, \pi_1$}
\setbox9=\hbox{${\bboard G}_{213}=(1-{x \over a })$}
\setbox10=\hbox{$(1-{xy \over ab})
= {\bboard G}_{132} $}
\setbox11=\hbox{$\kern 25 mm \pi_1 \, \searrow$}
\setbox12=\hbox{$\kern -25mm \swarrow \, \pi_2$}
\setbox13=\hbox{${\bboard G}_{123 }\quad = \quad 1$}
$$ \matrix{   &\box2    \cr
\noalign{\vskip 1mm}
\box3 & &\box4 \cr
\noalign{\vskip 2mm}
\box5  & &\box6 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box7  & &\box8 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box9  & &\box10 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box11 & &\box12 \cr
 &\box13 \cr  }$$


\vskip 3mm
\setbox21=\hbox{${\bboard H}_{321}=(1-{c \over x })$}
\setbox22=\hbox{\kern 1cm $(1-{b \over x })(1-{c \over y }) $}
\setbox2=\vbox{\box21 \box22}
\setbox31=\hbox{$ \psi_1 $}
\setbox32=\hbox{$\, \swarrow$}
\setbox3=\hbox{\kern 25mm{\raise 3mm\box31}\box32}
\setbox41=\hbox{$ \searrow$}
\setbox42=\hbox{$\, \psi_2$}
\setbox4=\hbox{\kern -25mm{\box41 \raise 3mm\box42}}
\setbox5=\hbox{${b \over x}
{\bboard H}_{231}=(1-{c \over x })
(1-{c \over y }) $}
\setbox6=\hbox{${c \over y}
(1-{c \over x })(1-{b \over x })
= {\bboard H}_{312} $}
\setbox7=\hbox{$\psi_2 \, \downarrow$}
\setbox8=\hbox{$\downarrow \, \psi_1$}
\setbox9=\hbox{${\bboard H}_{213}=
{c \over x}(1-{bc \over xy })$}
\setbox10=\hbox{${bc \over xy}
(1-{c \over x})
= {\bboard H}_{132} $}
\setbox11=\hbox{$\kern 25 mm \psi_1 \, \searrow$}
\setbox12=\hbox{$\kern -25mm \swarrow \, \psi_2$}
\setbox13=\hbox{${\bboard H}_{123 }\quad = 
\quad {bcc \over xxy }$}
$$ \matrix{   &\box2    \cr
\noalign{\vskip 1mm}
\box3 & &\kern -2mm\box4 \cr
\noalign{\vskip 2mm}
\box5  & &\kern -2mm\box6 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box7  & &\kern -2mm\box8 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box9  & &\kern -2mm\box10 \cr
\noalign{\vskip 3mm}
\box11 & &\kern -2mm\box12 \cr
 &\box13 \cr  }$$

\vskip 3mm
On peut v\'erifier 2.8 \it2) \rm pour $P = a$ , par exemple,
 \'ecrivant $\pi_\omega = \pi_2 \, \pi_1 \, \pi_2$.
 En effet  $a {\bboard H}_\omega = a(1-c/x)(1-b/x)(1-c/y) 
{\buildrel \pi_2 \over \longrightarrow}
a(1-c/x)\* (1-b/x)
{\buildrel \pi_1 \over \longrightarrow}
(1-c/x)\* (a+b-ab/x) 
{\buildrel \pi_2 \over \longrightarrow}
a+b+c - (ab+ac)/x - bc/x + abc/xx 
{\buildrel \theta \over \longrightarrow}
 a+b+c - (b+c) - bc/a+bc/a = a \quad . $

\vskip 3mm
De m\^eme, \`a titre d'exemple de 2.8 \it3)\rm, on a 
$\bf<\rm{\bboard G}_{132}\bigm|{\bboard H}_{312}\bf> \rm= 1$ ; 
en effet, dans le produit $(1-xy/ab) {c \over y}
 (1-c/x -b/x + bc/xx) $, seul 
le mon\^ome $(-xy/ab) (-cc/xy)$ a une image 
non nulle par $\pi_\omega $ $\big($ et \'egale \`a 1$\big)$.


\titre \bf3.  Postulation \rm|

Les polyn\^omes de Grothendieck ont \'et\'e obtenus comme images 
par les $\pi_\mu$ de l'\'el\'ement 
${\bboard {\bb{G}}}_\omega =  \prod_{i+j\leq n+1} ( 1 - b_i/a_j) $. On peut chercher 
\`a les calculer directement 
en consid\'erant l'action des $\pi_\mu$ sur les mon\^omes en ${\bboard {\bb{A}}}$ .

Le th\'eor\`eme 2.8 montre qu'en fait cette action peut 
s'interpr\'eter comme le produit scalaire avec un polyn\^ome de 
Grothendieck. En effet, d'apr\`es 2.8 \it1) \rm, et puisque 
$\pi_\mu$ est adjoint de $\pi_{\mu^{-1}}$ , on a la suite d'
\'egalit\'es : $a^I \pi_{\mu^{-1}} = a^I \pi_{\mu^{-1}} \omega\theta\omega  = 
\bf< \rm a^I \pi_{\mu^{-1}} \bigm| {\bboard {\bb{G}}}_\omega \bf> \theta  \rm=  
\bf<\rm a^I \bigm| {\bboard {\bb{G}}}_\omega\pi_\mu\bf> \theta  \rm=  \bf< \rm a^I \bigm| {\bboard {\bb{G}}}_{\omega\mu} \bf> \theta \rm$  ,
c'est-\`a-dire qu'on a le lemme suivant :

\th \bf Lemme 3.1\rm| \quad $ a^I \pi_{\mu^{-1}} =  
a^I {\bboard {\bb{G}}}_{\omega\mu} \pi_\omega \theta $ \finth

La sp\'ecialisation 
$\varepsilon_{\bboard B} :  b_j \longrightarrow 1$ de ce lemme est due \`a \bf[D3]\rm, th.2, p.87.

Lorsque $I$ est \it dominant \big(\rm i.e. $1I\geq 2I\geq\cdots 
\geq(n+1)I\geq0$\big) , le fibr\'e inversible 
$L^I= L_1^{1I}\otimes L_2^{2I} \otimes\cdots\otimes L_{n+1}^{(n+1)I}$  a sa 
cohomologie, au-dessus de toute vari\'et\'e de Schubert 
$\it Schub_{\omega\mu} \rm$, concentr\'ee en degr\'e 0 
\big(cf.\bf[D3]\rm, th1, p.84 et \bf[Se]\rm, th1, p.362\big). La classe de cet espace de 
cohomologie ${{\cal{H}}}^0(\it Schub_{\omega\mu} \rm, L^I)$ dans 
l'anneau de Grothendieck de la vari\'et\'e 
de drapeaux est donc $a^I\, {\bboard {\bb{G}}}_{\omega\mu}\, \pi_\omega \, \varepsilon_{\bboard B}  =  
a^I \, \pi_{\mu^{-1}} $.

Si $\nu\in{\goth S}({\bboard {\bb{A}}})$ stabilise $a^I$ , alors
  $a^I \pi_{\nu\mu} = a^I \pi_\mu$. Pour tenir 
compte de ces \'egalit\'es, c'est-\`a-dire des r\'ep\'etitions des parts de 
$I$, on d\'efinit inductivement les 
$T_I \in {\bboard Z}[{\bboard {\bb{A}}}] , I\in{\bb{N}}^{n+1}$, comme suit : 
$$ \cases{ \quad I &dominant $ \quad \Rightarrow \quad T_I = a^I $ \cr
\quad \exists p &: $i_p \leq i_{p+1} \quad \Rightarrow \quad T_I = T_{I \sigma_p}\pi_p $ \cr
} \leqno \bf(3.2) \rm$$

Ainsi, pour ${\goth S}(3)$, il n'y a que trois images diff\'erentes du 
mon\^ome $a_1^5 a_2^3 a_3^3 = T_{533} $, 
\`a savoir $T_{533} = T_{533} \pi_2 \, ; \, T_{353} = 
T_{533}\pi_1 = T_{533} \pi_2 \pi_1 \, ; \,
 T_{335} = T_{533} \pi_1 \pi_2 = T_{533} \pi_1 \pi_2 \pi_3 \, . $

Si $I$ est une \it partition \big(\rm i.e. 
$0\leq1I\leq2I\leq...\leq(n+1)I$ \big) , alors $T_I$ 
est la fonction de Schur classique $S_I({\bboard {\bb{A}}}_{n+1})$. La formule des 
caract\`eres de Demazure \bf[D2]\rm, prop.4, s'\'ecrit, dans le cas du 
groupe lin\'eaire :

\th \bf Th\'eor\`eme 3.3\rm|  Soient $I$ dominant ,
$ \sigma \sigma'...\sigma"$ une d\'ecomposition 
(non n\'ecessairement r\'eduite) de l'\'el\'ement maximal 
$\omega$ de ${\goth S}({\bboard {\bb{A}}})$. Alors
$a^I , a^I\pi_\sigma , a^I \pi_\sigma \pi_{\sigma'} ,\ldots , 
a^I \pi_\sigma \pi_{\sigma'} \cdots \pi_{\sigma"}  =  S_{I\omega}({\bboard {\bb{A}}})$
est une suite croissante de polyn\^omes dans 
${\bboard Z}[{\bboard {\bb{A}}}]$. \finth

$\big($ On \'ecrit $P\geq Q$ pour deux polyn\^omes 
si les coefficients de $P- Q$ sont $\geq0$ $\big)$. 

On a ainsi la suite croissante suivante :
$  a_1^2 a_2 = T_{210}  {\buildrel \pi_1 \over \longrightarrow}
 T_{120} = a_1a_2(a_1+a_2) {\buildrel \pi_2 \over \longrightarrow}
T_{102} = a_1^2(a_2+a_3) + a_1(a_2^2+a_2a_3+a_3^2)  
{\buildrel \pi_1 \over \longrightarrow}
T_{012} = \sum a_i^2 a_j  + 2 a_1a_2a_3 $.

On a en fait une propri\'et\'e de positivit\'e plus forte que 3.3 :
\th \bf Proposition 3.4\rm| 
  Pour tout $I$ dominant, toute permutation $\mu$ ,
le polyn\^ome
$$a^I \psi_\mu = \sum_{\eta\leq\mu}(-1)^{\ell(\mu)-\ell(\eta)} a^I \pi_\eta$$ 
a ses coefficients positifs ou nuls \quad 
(la somme s'effectuant sur toutes les permutations dans l'intervalle 
$[id, \mu]$ pour l'ordre d'Eh\-res\-mann/Bru\-hat). \finth

Ainsi, pour $I = 210, \mu = 321$, le polyn\^ome 
$T_{210} \psi_{321} = 
T_{012}- T_{102}- T_{021}+ T_{120}+ T_{201}- T_{210}$ est positif   
\big(il est \'egal \`a $a_2a_3^2$\big) .

Nous ne d\'emontrerons pas la proposition 3.4 que l'on trouve 
dans \bf[L-S3]\rm, th.5 comme corollaire de l'extension \`a l'alg\`ebre 
libre (i.e. en variables non commutatives) des fonctions $T_I$ (qui 
co\"\i ncident alors avec les "bases standard" de \bf[L-M-S] \rm; voir Note 1).

L'expression 1.13 de $\pi_\mu$ en fonction des 
$\psi_\eta$ entraine le corollaire suivant :

\th \bf Corollaire 3.5\rm|    Pour tout $I$ dominant,
 toute permutation $\mu$ ,
$$a^I \pi_\mu = \sum_{\eta\leq\mu} a^I \psi_\eta   \quad . $$ \finth

On retrouve bien ainsi le th\'eor\`eme 3.3 puisque dans le cas 
d'une permutation $\mu$ et d'une transposition simple 
$\sigma$ telles que 
$\ell(\mu\sigma) = \ell(\mu) + \ell(\sigma)$ , on a 
  $$a^I \pi_{\mu\sigma} - a^I \pi_\mu = \sum_\eta a^I \psi_\eta  $$
somme sur toutes les permutations 
$\eta \in [id, \mu\sigma] \setminus [id, \mu] $.

\vskip 3mm
Dans la suite croissante 3.3, les deux termes extr\`emes sont 
des fonctions de Schur (au sens 1.8), c'est-\`a-dire la suite 
interpole entre le mon\^ome $a^I$
 et la fonction de Schur $S_{I\omega}({\bboard {\bb{A}}})$. En 
fait, d'autres termes de cette suite sont aussi des fonctions de 
Schur, ceux correspondant aux vecteurs vexillaires (d\'efinis 
ci-dessous) :

\noindent
\bf Definition 3.6.    \rm$I \in{\bb{N}}^{n+1}$ est \it vexillaire \rm ssi

\it1) \rm pour tout $h : 1\leq h\leq n$, l'in\'egalit\'e 
$hI > (h+1)I$ implique $hI>kI,\forall k>h $.

\it2) \rm l'in\'egalit\'e $hI\geq kI$ implique card
$\{j, h<j<k \& jI<hI\} \leq hI - kI $.

\vskip 3mm
A tout $I \in {\bb{N}}^{n+1}$ on associe un deuxi\`eme \'el\'ement 
$J \in {\bb{N}}^{n+1}$ comme 
suit :
$$ \cases{\quad hJ = 0 &si \quad  $hI = 0$ \cr
\quad hj = max\{j : h\leq j\leq n+1 , hI\leq jI\} &autrement \cr
} \leqno \bf(3.7) \rm$$

Soit enfin $I\bf D\rm$  l'\'el\'ement de ${\bb{N}}^{n+1} : 
(1I\bf D \geq \rm2I\bf D \geq \rm...\geq(n+1)I\bf D\rm) $ 
r\'eordonn\'e de $J$ , i.e. tel que 
$\{1I\bf D\rm, \ldots, (n+1)I\bf D \rm\} = 
\{1J, \ldots, (n+1)J \}$ . Le drapeau  
$\{{\bboard {\bb{A}}}_{1I\bf D} , {\bboard {\bb{A}}}_{2I\bf D} , ..., {\bboard {\bb{A}}}_{(n+1)I\bf D} \}$
 est dit \it drapeau associ\'e \`a \rm I \bf[L-S4]\rm.

\th \bf Lemme 3.8\rm|  Soient $I \in {\bb{N}}^{n+1}$ vexillaire, 
$I\bf R\rm$ la partition obtenue 
en r\'eordonnant $I$ , $\{{\bboard {\bb{A}}}_{1I\bf D} , ..., {\bboard {\bb{A}}}_{(n+1)I\bf D} \}$
 le drapeau associ\'e \`a $I$ .
Alors      
$$T_I  =  S_{I\bf R} \big( {\bboard {\bb{A}}}_{1I\bf D} , {\bboard {\bb{A}}}_{2I\bf D} , ..., {\bboard {\bb{A}}}_{(n+1)I\bf D} \big) 
\quad . $$
\finth

La preuve consiste \`a exhiber une chaine :
$ I_1 \longrightarrow I_2 \longrightarrow \cdots \longrightarrow I_k = I$  telle que 
$I_1$ soit dominant, que pour tout $h$, $I_h$ soit 
vexillaire et qu'il existe une transposition simple $\sigma^h$ : 
$T_{I_{h+1} }=T_{I_h} \pi_{\sigma^h } $. 
On peut alors appliquer r\'ep\'etitivement 1.10 et obtenir le d\'eterminant 
cherch\'e ; cette preuve est exactement la m\^eme que pour les polyn\^omes de 
Schubert vexillaires, au changement des $\pi_i$ en les 
$\partial_i$ pr\`es ; nous renvoyons 
\`a \bf[Wa]\rm, th.2.3  \big(le drapeau que cet auteur associe \`a une 
permutation $\mu$ ne 
coincide avec le drapeau associ\'e au code de $\mu$ 
que dans le cas vexillaire\big) .   \quad \qed

Pour atteindre tout $I \in {\bb{N}}^{n+1}$ , 
on a besoin de l'image de fonctions de 
Schur dans un cas plus g\'en\'eral que 1.10,
 c'est-\`a-dire dans le cas o\`u il y a 
plus d'une colonne du d\'eterminant 1.8 
qui ne soit pas invariante par $\pi_p$ . 
Par exemple, $T_{4602} = S_{246}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_2,{\bboard {\bb{A}}}_2)$
 est vexillaire ; son image par $\pi_2$ , 
$T_{4062}$ s'obtient en \'ecrivant 
${\bboard {\bb{A}}}_2 = {\bboard {\bb{A}}}_3\setminus \{a_3\}$ , 
d'o\`u $T_{4602} = S_{246}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) - 
a_3 S_{236}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) - a_3 S_{245}({\bboard 
{\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) + a_3^2 S_{235}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard 
{\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) $.
Comme $a_3^0 \pi_2 = 1 , a_3^1 \pi_2 = 0$
 et $a_3^2 \pi_2 = - a_2a_3 $, on tire 
$T_{4062} = S_{246}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) - a_2a_3 
S_{235}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3) $. 


La m\^eme m\'ethode conduit \`a l'expression de tout $T_I$ 
comme une somme de fonctions de Schur, somme 
qui ne nous semble pr\'esenter de propri\'et\'es remarquables 
qu'en liaison avec l'ensemble des 
d\'ecompositions r\'eduites de la permutation dont $I$ est le code 
(cf.\bf[St]\rm, \bf[E-G] \rm et \bf[L-S1] \rm). Cela met en jeu une combinatoire 
diff\'erente de celle de cet article et pour cette raison, nous ne 
l'aborderons pas ici.

Comme d'apr\`es 3.1, $a^J \pi_{\mu^{-1}}$ est \'egal 
\`a la sp\'ecialisation par $\theta$ de 
$a^J{\bboard G}_{\omega\mu}\pi_\omega$ , il est plus int\'eressant de calculer,
 au lieu des $T_I$ , 
les fonctions $a^J{\bboard G}_{\omega\mu}\pi_\omega $. Tout d'abord, on a le lemme 
\th \bf Lemme 3.9\rm|    Soient $p : 1\leq p\leq n$
  et $\mu$ une permutation dominante de 
code $J$ ; soit $I \in {\bb{N}}^{n+1}, I \geq J\omega $. Alors
$$a^I\omega {\bboard G}_\mu =  S_I\big( {\bboard {\bb{A}}}_{n+1}
- {\bboard B}_{(n+1)J} , ... , {\bboard 
{\bb{A}}}_1 - {\bboard B}_{1J}) \quad . $$ \finth

En effet, $m\geq j \Rightarrow S_m(x-{\bboard B}_j) = x^{m-j} S_j(x-{\bboard B}_j) = 
x^{m-j}(x-b_1)\cdots (x-b_j)$ . Soustrayant 
$\{a_1\} = {\bboard {\bb{A}}}_1$ dans toutes les 
lignes , sauf la derni\`ere, du d\'eterminant 
$S_I\big({\bboard {\bb{A}}}_{n+1}-{\bboard B}_{(n+1)J} ,\ldots,{\bboard {\bb{A}}}_1-{\bboard B}_{1J})$ 
on obtient comme derni\`ere colonne \big(posant 
$(n+1)I = i , 1J = j$ \big)
$S_{i+n}(-{\bboard B}_j) ,\ldots, S_{i+1}(-{\bboard B}_j) , S_i(a_1-{\bboard B}_j)$
 , i.e. $0,\ldots, 0, 
a_1^{i-j}(a_1-b_1)\cdots(a_1-b_j)$;
 on peut transformer de m\^eme le cofacteur 
de $S_i(a_1-{\bboard B}_j)$ , et l'on obtient en fin de compte comme valeur du 
d\'eterminant le produit de $a^I\omega$ 
 par un polyn\^ome qui n'est autre que ${\bboard G}_\mu$  \quad \qed

Le mon\^ome $a_1 ... a_{n+1}$ \'etant un scalaire pour les op\'erateurs 
$\pi_i$ , le lemme 3.9 a pour corollaire, pour toute permutation $\mu$ :
$$   (a_1 ... a_{n+1})^n {\bboard G}_\mu 
= S_{n...n}\big({\bboard {\bb{A}}}_{n+1}-{\bboard B}_0 ,
\ldots,{\bboard {\bb{A}}}_1-{\bboard B}_n) \pi_{\omega\mu} 
\leqno \bf(3.10) \rm$$

Certains des polyn\^omes $(a_1 ... a_{n+1})^n {\bboard G}_\mu$
 sont des fonctions de Schur, 
par exemple d'apr\`es 3.9, dans le cas o\`u $\mu$ 
est une permutation dominante.
La propri\'et\'e 1.10 autorisant la pr\'esence d'un 
drapeau ${\bboard B}$ invariant 
par les $\sigma_j$ , la m\^eme m\'ethode 
que pour 3.8 et que nous n'avons fait 
qu'esquisser fournit :

\th \bf Proposition 3.11\rm|    Soient $\mu$ une permutation vexillaire,
 $I$ son code,  $\{ {\bboard {\bb{A}}}_{1I\bf D} ,\ldots, {\bboard {\bb{A}}}_{(n+1)I\bf D} \}$
 le drapeau d'alphabets associ\'e \`a $I$ .
Soit $\eta$ la plus petite permutation dominante 
$\eta\geq \mu$ telle que $\ell(\eta) - 
\ell(\eta^{-1}\mu) = \ell(\mu) \, , \, J $
 le code de $\eta$ . Alors      $$(a_1...a_{n+1})^n \, {\bboard G}_\mu =
S_{n...n} \big( {\bboard {\bb{A}}}_{1I\bf D} - {\bboard B}_{(n+1)J} ,
 {\bboard {\bb{A}}}_{2I\bf D} - {\bboard B}_{nJ} 
,\ldots, {\bboard {\bb{A}}}_{(n+1)I\bf D} - B_{1J}\big) 
\quad . $$  \finth 

\it Exemple\rm. $\mu = 3412$ est monomiale de code 2200 ; on a donc 
$(a_1...a_4)^3{\bboard G}_{3412} = S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4 , {\bboard {\bb{A}}}_3 , 
{\bboard {\bb{A}}}_2-{\bboard B}_2 , {\bboard {\bb{A}}}_1-{\bboard B}_2)$
 ; l'image par $\pi_2$ de cette identit\'e est 
$(a_1...a_4)^3 {\bboard G}_{3142} = S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard 
{\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_2,{\bboard {\bb{A}}}_1
-{\bboard B}_2)$ , puis par $\pi_1 $, $(a_1...a_4)^3{\bboard G}_{1342} 
= S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3
-{\bboard B}_2,{\bboard {\bb{A}}}_2-{\bboard B}_2) = 
S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3
-{\bboard B}_2,{\bboard {\bb{A}}}_3- {\bboard B}_2) $. 
Or $\mu = 1342$ a pour code 0110 , ce qui 
par 3.7 donne la suite $J = 4334$ (cf.3.7) et le drapeau 
$\{ {\bboard {\bb{A}}}_4, {\bboard {\bb{A}}}_4, {\bboard {\bb{A}}}_3, 
{\bboard {\bb{A}}}_3\}$  ainsi que requis par 3.11 .

On trouve ainsi, pour ${\goth S}(4)$ et en \'ecrivant 
$\mu : ijh\big|klm$  au 
lieu de $(a_1a_2a_3a_4)^3 {\bboard G}_\mu 
= S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4 , {\bboard {\bb{A}}}_i-{\bboard B}_k , 
{\bboard {\bb{A}}}_j-{\bboard B}_l , 
{\bboard {\bb{A}}}_h-{\bboard B}_m)$ , les 23 polyn\^omes vexilaires suivants :
$4321 : 321\big|123 $; $3421 : 321\big|122 , 4231 : 321\big|113 , 4312 : 
321\big|023 $ ;
$2431 : 322\big|113, 3241 : 321\big|112 , 3412 : 321\big|022 , 4132 : 
331\big|O23 , 
4213 : 321\big|013$ ; $1432 : 332\big|023 , 2341 : 321\big|111 , 2413 : 
322\big|013 ,
3142 : 331\big|022$ ; $4123 : 321\big|003 , 3214 : 321\big|012 $ ; 
$1342 : 332\big|022 ,
1423 : 322\big|003 , 2314 : 321\big|011 , 3124 : 321\big|002 $ 
; $1243 : 333\big|003 ,
1324 : 322\big|002 , 2134 : 321\big|001 , 1234 : 321\big|000$ .

Seule $\mu = 2143$ n'est pas vexillaire ; partant de 
$322\big|013 = (a_1a_2a_3a_4)^3 {\bboard G}_{2413} 
= S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4 , {\bboard {\bb{A}}}_3 , 
{\bboard {\bb{A}}}_2-{\bboard B}_1 , {\bboard {\bb{A}}}_2-{\bboard B}_3) = 
S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3
-{\bboard B}_1,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3) 
- a_3 S_{3323}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3
-{\bboard B}_1,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3) - 
a_3 S_{3332}({\bb{A}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3-
{\bboard B}_1,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3) + a_3^2 
S_{3322}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3
-{\bboard B}_1,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3)$ , 
on d\'eduit par $\pi_2$ la valeur manquante 
$(a_1a_2a_3a_4)^3 {\bboard G}_{2143}  =
 S_{3333}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,
{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_1,{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3) - 
a_2a_3 S_{3322}({\bboard {\bb{A}}}_4,{\bboard {\bb{A}}}_3,
{\bboard {\bb{A}}}_3-{\bboard B}_1,{\bboard 
{\bb{A}}}_3-{\bboard B}_3) $  , puisque  $a_3 \pi_2 
= 0$  et  $a_3^2 \pi_2 = - a_2a_3 $.


\titre \bf4.  Th\'eor\`eme de Riemann-Roch \rm|

Le th\'eor\`eme de Riemann-Roch exprime la compatibilit\'e des 
projections de l'anneau de cohomologie et de l'anneau de 
Grothendieck de ${{\cal{F}}}(V)$ sur sa base. 
Plus pr\'ecis\'ement, d'apr\`es \bf[Gr2] \rm:

\th \bf Th\'eor\`eme \rm(Riemann-Roch) |
   Le pentagone suivant est commutatif :
\setbox2=\hbox{ $\bf K\big({\cal F}(V)\big)$}
\setbox3=\hbox{$ {\buildrel \bf Ch \over \longrightarrow}$}
\setbox4=\hbox{ $\bf H\big({\cal F}(V)\big)$}
\setbox5=\hbox{$ {\buildrel \bf Todd \over \longrightarrow}$}
\setbox6=\hbox{ $\bf H\big(\rm{\cal F}(V)\big)$}
\setbox7=\hbox{$\bf H\big(\it Base\big)$}
\setbox8=\hbox{$ {\buildrel \bf Ch \rm\over \longrightarrow}$}
\setbox9=\hbox{$\bf K\big(\it Base\big)$}
$$\matrix{
\box2 &\box3 &\box4 &\box5 &\box6 \cr
\downarrow  & & &\swarrow & \cr
\box9  &\box8  &\box7 & & \cr }
\leqno \bf(4.1) \rm$$
\finth

Les fl\`eches verticales commutant \`a la multiplication par les 
fonctions sym\'etriques en $A$ , le pentagone de 
Riemann-Roch/Grothendieck est induit par l'heptagone commutatif 
suivant :


\setbox2=\hbox{ $\bf K\big( {\cal F}(V)\big)$}
\setbox3=\hbox{$ {\buildrel \bf Ch \over \longrightarrow}$}
\setbox4=\hbox{ $\bf H [[\Gamma ]]$}
\setbox5=\hbox{${\buildrel \bf Todd \over \longrightarrow}$}
\setbox6=\hbox{ $\bf H\rm[[ \Gamma ]]$}
\setbox7=\hbox{$\bf H\big(\it Base\big)$}
\setbox8=\hbox{$ {\buildrel \bf Ch \over \longrightarrow}$}
\setbox9=\hbox{$\bf K\big(\it Base\big)$}
\setbox10=\hbox{ $\bf H\big({\cal F}(V)\big)$}
\setbox11=\hbox{ $\partial_\omega \, \downarrow$}
\setbox12=\hbox{$\downarrow \, \pi_\omega$}
\setbox13=\hbox{ $\bf K\big({\cal F}(V)\big)$}
$$\matrix{
\box13 &\leftarrow &\box2 &\box3 &\box4 &\box5 &\box6 
&\rightarrow &\box10 \cr
&\searrow &\box12 & & & &\box11 &\swarrow & \cr
& &\box9 & &\box8 & &\box7 & & \cr }
\leqno \bf(4.2) \rm$$
o\`u $\Gamma = \{\gamma_1 ,\ldots, \gamma_{n+1}\}$ est un alphabet suppl\'ementaire, 
$\bf H\rm[[\Gamma]]$  l'anneau des s\'eries formelles en 
$\Gamma$ , o\`u $\bf Ch\rm$ est le morphisme de 
Chern  $a_i \longrightarrow exp(\gamma_i) , 1\leq i\leq n+1$, $\bf Todd\rm$ le produit par l'\'el\'ement 
$\Delta(\Gamma)\bigm/ \prod_{i<j}\big(1-exp(\gamma_j-\gamma_i)\big)$ , $\pi_\omega$ 
le morphisme  $f\longrightarrow \sum \big[fa^E/\Delta({\bboard {\bb{A}}})\big]^\mu $, 
$\partial_\omega$ le morphisme  $f\longrightarrow \sum \big[f/\Delta(\Gamma)\big]^\mu$ , 
les deux sommes s'effectuant sur 
toutes les permutations $\mu \in {\goth S}({\bboard {\bb{A}}}) $.

\it Preuve\rm. \quad On a bien  \quad   $f \pi_\omega \bf Ch \rm$
{\obeylines $ = \sum \big[{ f \over \prod_{i<j }(1-a_j/a_i)} \big]^\mu \bf Ch \rm= $
$ \sum \big[{ f\bf Ch \rm\over \prod_{i<j}(1-exp(\gamma_j-\gamma_i) } \big]^\mu $}
$ = \sum \big[f \bf Ch Todd \rm/ \Delta(\Gamma)\big]^\mu 
= f \bf Ch \rm\, \bf Todd \rm\, \partial_\omega  $,
ce qui montre 4.2 et donc Riemann-Roch dans le cas d'une fibration 
en vari\'et\'es de drapeaux \big(la partie difficile de ce th\'eor\`eme est le 
cas d'une immersion ferm\'ee, cf \bf[Gr2] \big)\rm.

On peut alors se poser la question : par quoi remplacer le 
diagramme 4.2 dans le cas d'un op\'erateur $\pi_\mu$
 au lieu de $\pi_\omega $ ?

Pour apporter une r\'eponse
 (dont nous n'avons pas d'interpr\'etation g\'eom\'etrique),
 nous allons tout d'abord 
\'ecrire diff\'eremment la compatibilit\'e entre 
$\pi_\omega$ et $\partial_\omega $. Introduisons une 
ind\'etermin\'ee suppl\'ementaire $u$ et d\'efinissons 
$\bf CH\rm$ comme le morphisme 
$\bf CH \rm: a_i\rightarrow exp(u\gamma_i) \, ,\, 1\leq i\leq n+1 $. 
Soient $\nabla$ la d\'eriv\'ee usuelle par 
rapport \`a$u$ (op\'erant sur sa gauche !) , 
$\varepsilon$ la sp\'ecialisation 
$a_1\rightarrow 1,\ldots, a_{n+1}\rightarrow 1 , u\rightarrow 0$ . 
On remarquera que $\nabla$ commute avec 
les diff\'erences divis\'ees $\partial_i : f\rightarrow \big(f\sigma_i - f\big)\big/(\gamma_{i+1}-\gamma_i)$ .

\th \bf Lemme 4.3 \rm|  Pour tout $f \in \bf K\rm[{\bboard {\bb{A}}}]$ , on a
$$f \, \pi_\omega \, \varepsilon = f \, a^E \, 
\bf CH \rm\, \nabla^{\ell(\omega)} \, \partial_\omega \, \varepsilon / \, \ell(\omega)\, !\quad .$$
\finth

D\'emonstration.  Il suffit par lin\'earit\'e de v\'erifier l'assertion 
pour un mon\^ome $f = a^I$ . Posons 
$I+E = (1I+n, 2I+n-1,\ldots, (n+1)I+0) = J $.
Alors  $f \pi_\omega $ est la fonction de Schur d'indice  
$I\omega$  , dont la sp\'ecialisation (par $\varepsilon$) est  
$\Delta(J)/\Delta(E)$  $\big($ i.e. $\prod_{h<k} (j_h-j_k)/n!...0!$ ;
cf.\bf[Ma] \rm Ex.4, p.28 $\big)$.

D'un autre c\^ot\'e ,
$ \sum(-1)^{\ell(\mu)} \big[a^J\bf CH\big]^\mu\rm$  est le d\'eveloppement du 
d\'e\-ter\-mi\-nant $\bigl| exp(u\, j_k \, \gamma_h) \bigr|_{1\leq h,k\leq n+1} $ ,
 et est donc \'egal \`a 
\setbox3=\hbox{{\rm termes de degr\'e }}
\setbox4=\hbox{\rm en $u$ sup\'erieur \`a $\ell(\omega)$}
\setbox5=\vbox{\box3 \box4}
$$ { u^{\ell(\omega)} \over \Delta(E)}
\, \sum (-1)^{\ell(\mu)} \Delta(J) \big[\gamma_1^n \cdots \gamma_{n+1}^0 \big]^\mu  
+ \ \raise -2.5mm\box5 \quad . $$

On a donc
$$\eqalign{
 a^{I+E} \bf CH \partial_\omega  \rm&= \sum (-1)^{\ell(\mu)} \big[a^J \bf CH\big]^\mu\big/\Delta\rm(\Gamma) \cr
&=  u^{\ell(\omega)} \Delta(J)/\Delta(E) +  u^{\ell(\omega)+1}(\cdots) \quad . \cr }$$
La fonction  $a^{I+E} \bf CH \partial_\omega \nabla^{\rm\ell(\omega)}\varepsilon\big/\rm\ell(w)!$
{ \obeylines  se r\'eduit en fin de compte \`a
${u^{\ell(\omega)}\nabla^{\ell(\omega)}\over  \ell(\omega)!} \* {\Delta(J)\over \Delta(E)}  $ \quad \qed }

\vskip 3mm
Le lemme pr\'ec\'edent est \`a rapprocher de la "Formule des 
dimensions" de Weyl \bf[We] \rm.

D'apr\`es la formule de postulation 3.1 , 
$$f \pi_{\mu^{-1}} \varepsilon = f G_{\omega\mu} \pi_\omega \varepsilon\quad .$$
Posons  ${\goth g}_{\omega\mu} = G_{\omega\mu} \bf CH \rm\bigr|_{\ell(\omega)}$
 $\big($ c'est-\`a-dire on limite \`a l'ordre $\ell(\omega) $
en $u$ le d\'eveloppement de $G_{\omega\mu} \bf CH\rm$ $\big)$.

Par exemple, pour ${\goth S}(3)$ , avec 
$\Gamma = \{\alpha, \beta, \gamma\}$ , on a
${\goth g}_{321} = u^3 \alpha^2 \beta \, ;\, {\goth{g}}_{231} = u^2 \alpha\beta - u^3\alpha\beta(\alpha+\beta)/2  
\, ; \, {\goth{g}}_{312} = u^2\alpha^2- u^3\alpha^3 \, ; \,
 {\goth{g}}_{213} = u\alpha - u^2\alpha^2/2 + u^3 \alpha^3/6  
\, ; \, {\goth{g}}_{132} = u(\alpha+\beta) - u^2 (\alpha+\beta)^2/2 + 
u^3(\alpha+\beta)^3/6  \, ; \,  {\goth{g}}_{123} = 1 $.

\vskip 3mm
Il est clair que  ${\goth{g}}_\mu u^{-\ell(\mu)}$
 est un polyn\^ome ; combinant 
alors 4.3 et 3.1 , on obtient :

\th \bf Proposition 4.4 \rm|     Pour tout $f \in \bf K\rm[{\bboard {\bb{A}}}]$ , on a
$$f \, \pi_{\mu^{-1}} \, \varepsilon = f \, a^E \, \bf CH \rm\, 
{\goth g}_{\omega\mu} \, u^{-\ell(\omega\mu)} \, \nabla^{\ell(\mu)} 
\, \partial_\omega \, \varepsilon / \, \ell(\mu)\, ! \quad . $$
\finth

Ainsi, pour ${\goth S}(3)$ et $f = a_1^7a_2^4a_3^1$
, le membre de gauche de 4.4 s'\'ecrit   
$a_1^7a_2^4a_3^1 \pi_{231} \varepsilon = a_1^7a_2^4a_3^1 \pi_2 \pi_3 \varepsilon 
= S_{147}({\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_3,{\bboard {\bb{A}}}_2) \varepsilon = 22 $;
celui de droite est 
$\exp\big( u(7\alpha+4\beta+\gamma) \big)\cdot
\exp\big( u(2\alpha+\beta) \big)\cdot \big(\alpha - u\alpha^2/2 + u^2\alpha^3/6\big)$ 
et a pour terme en $u^2$ \quad : 
$\alpha( 9\alpha + 5\beta + \gamma)^2/2 - \alpha^2( 9\alpha + 5\beta + \gamma)/2 + \alpha^3/6  $;
  son image par 
$\partial_\omega $ est  $( -25 + 1 + 90 - 18)/2 - (5 - 1)/2 = 22$
  , puisque
$\alpha^2\beta \partial_\omega = 1 = - \beta^2\alpha \partial_\omega 
= - \alpha^2\gamma \partial_\omega = \alpha\gamma^2 \partial_\omega ;  \alpha^3 \partial_\omega = 0 = \alpha\beta\gamma \partial_\omega  $.

\vskip 3mm
Soient $a^I$ un mon\^ome, 
$\exp(u\hbar)$ son image par $\bf CH\rm$ , $\mu$ une 
permutation ,$ \ell = \ell(\mu)$
 sa longueur. La d\'eriv\'ee  
$a^E\big(1-za^I\big)^{-1}\bf CH {\goth{g}}_{\omega\mu}\rm u^{-\ell}\nabla^{\ell}/\ell ! $
           s'\'ecrit  
$\big(1-zexp(u\hbar)\big)^{-\ell-1}\big[(z\hbar)^{\ell}
\big(a^E\bf CH{\goth{g}}_{\omega\mu}\rm u^{-\ell}\big) + \big( 1-zexp(u\hbar) \big) (\ldots)\big] $. 
Par sp\'ecialisation $\varepsilon$ , on a donc
$a^E\big(1-za^I\big)^{-1}\bf CH{\goth{g}}_{\omega\mu}\rm u^{-\ell}\nabla^{\ell}\varepsilon\bf/ \rm\ell ! = 
    (1-z)^{-\ell-1} \big[(z\hbar)^{\ell}({\goth{g}}_{\omega\mu}u^{-\ell}\varepsilon) + (1-z)(\ldots)\big]$.

Appliquant $\partial_\omega$ , on obtient que 
$a^E\big(1-za^I\big)^{-1}\bf CH {\goth{g}}_{\omega\mu}\rm u^{-\ell}\nabla^{\ell}\varepsilon\partial_\omega(1-z)^{\ell+1}\bf/ \rm\ell ! $  
est un polyn\^ome, not\'e ${{\cal{N}}}_{I,\mu}(z)$,
 de degr\'e $\leq\ell$ en $z$ .

La valeur en $z=1$ de ce polyn\^ome est 
$\hbar^{\ell}{\goth{g}}_{\omega\mu}u^{-\ell}\varepsilon\partial_\omega $, 
c'est-\`a-dire d'apr\`es la note 2 , $\hbar^{\ell}\;\;\partial_{\mu^{-1}}$
  . Dans le cas o\`u 
$1I>2I>3I>\cdots $, le fibr\'e  
$L_1^{1I}\otimes L_2^{2I}\cdots $ d\'efinit un plongement 
projectif et le scalaire $\hbar^{\ell}\partial_{\mu^{-1}}$ 
 est alors le degr\'e de la vari\'et\'e 
$\it Schub_{\omega\mu} \rm$ (cf. note 2) . 
Pour r\'esumer, on a :

\th \bf Proposition 4.5 \rm|
  Soient $I\in {\bb{N}}^{n+1}$ , $u\hbar$ le logarithme de $a^I$ , $\mu$ une 
permutation. Alors     
$(1-za^I)^{-1}\pi_{\mu^{-1}} \varepsilon (1-z)^{\ell(\mu)+1}  
=  {{\cal{N}}}_{I,\mu}(z)   $ 
est un polyn\^ome de degr\'e $\leq\ell(\mu)$ 
dont la valeur en $z=1$ est 
$$   {{\cal{N}}}_{i,\mu}(1)  =  \hbar^{\ell(\mu)} \partial_{\mu^{-1}}  \quad \it. \rm$$
\finth

\it Remarque\rm. L'image du polyn\^ome $G_\mu$ par le changement de variable 
$1-1/a_1 \rightarrow \beta_1 , \ldots,
1-1/a_{n+1} \rightarrow \beta_{n+1} $ 
 a pour terme de degr\'e minimum le polyn\^ome 
de Schubert $X_\mu$ en les variables 
$\beta$ (cf.\bf[L-S2]\rm). Les polyn\^omes de 
Schubert sont une base de l'anneau de Chow, et l'on peut utiliser 
l'isomorphisme entre le gradu\'e associ\'e \`a 
$\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ et l'anneau de 
Chow de ${{\cal{F}}}(V)$ (cf.\bf[Gr2]\rm, p.678) pour transf\'erer les r\'esultats 
obtenus dans $\bf K\rm[{\bboard {\bb{A}}}]$. Cependant, on obtient une information plus 
riche dans $\bf K\rm[{\bboard {\bb{A}}}]$ , 
d'o\`u notre pr\'ef\'erence pour ce dernier.

%%%%% groth5-7.tex

\titre \bf5.  Plongement de Pl\"ucker \rm|

Le fibr\'e  $L = L^E = L_1^n\otimes L_2^{n-1}\otimes\cdots\otimes L_{n+1}^0 $
 $\big($ qui correspond au 
mon\^ome $a^E$ $\big)$  est tr\`es ample et d\'efinit un plongement de 
${{\cal{F}}}(V)$ dans 
un projectif de dimension relative $2^{\ell(\omega)}$. 
On se propose de  calculer la \it postulation \rm des 
puissances de $L$ au dessus de 
chaque vari\'et\'e de Schubert , i.e. la 
dimension de l'espace des sections 
de tout $L^j , j\geq0 $, au dessus d'une vari\'et\'e quelconque 
$\it Schub_{\omega\mu} \rm$.
Cet espace de sections a pour classe   
$a^{jE} G _\mu \pi_\omega $  dans l'anneau 
de Grothendieck de la vari\'et\'e de drapeaux   et nous l'avons 
calcul\'e au paragraphe 3. Cependant, si l'on n'a en vue 
que les dimensions et non point les espaces eux-m\^emes,
 les m\'ethodes du paragraphe 3 
sont loin d'\^etre efficaces ; nous en donnons dans ce paragraphe de plus 
adapt\'ees au seul calcul des dimensions.

Nous voulons \'evaluer, pour tout $j\geq0$, 
toute permutation $\mu$, 
l'entier  $a^{jE} \, G _\mu \, \pi_\omega \, \varepsilon$ ; d'apr\`es 3.1 , celui-ci est \'egal \`a 
$a^{jE}\, \pi_{\mu^{-1}} \, \varepsilon$  \it. \rm Il est commode de poser  
$F(z) = 1\big/(1-za^E)$ ,o\`u $z$ 
est une ind\'etermin\'ee suppl\'ementaire, et de calculer la s\'erie 
g\'en\'eratrice $F(z) \pi_{\mu^{-1}} \varepsilon $. 

Comme par ailleurs  $F(z) \omega  = - F(1/za^{E+E\omega})\big/za^{E\omega} $ 
et $F(z) \clubsuit  = F(z/a^{E+E\omega}) $,
 on d\'eduit de 1.16 et 1.17  :

\th \bf Proposition 5.1\rm|   Pour toute permutation $\mu$ ,
$$(-1)^{\ell(\mu)+1} F(z) \, \psi_\mu \, a^E 
= {1 \over z} F\big({1 \over z}\big) \, \pi_\mu \, \clubsuit \omega\quad . $$
\finth

Ainsi, pour ${\goth S}(3)$, posant 
${\bboard {\bb{A}}} = \{ a, b, c\}$ , on trouve

$$- F(z) \, \psi_1\, \psi_2 a^E 
=  { (-zabc-zac^2+z^2a^3bc^2+z^3a^4b^2c^3)a^2b
\over (1-za^2b)(1-zab^2)(1-za^2c)(1-zac^2) } $$
et cette fonction est bien l'image par l'involution  
$\omega\, \clubsuit$   de 

$${1 \over z}F\big({1 \over z}\big)\, \pi_1\, \pi_2 
= {1 \over z}  {(-a^3b^2cz^{-2}-a^3bc^2z^{-2}+abcz^{-1}+1)
\over (1-a^2b/z)(1-ab^2/z)(1-a^2c/z)(1-ac^2/z)} \quad . $$

On a vu en 4.5  que $F(z) \pi_{\mu^{-1}}
 \varepsilon (1-z)^{\ell(\mu)+1} $ est un polyn\^ome 
${{\cal{N}}}_{E,\mu}(z)$  que nous noterons  ${{\cal{E}}}_\mu(z) $. 
De l'identit\'e 1.13 :
$ \pi_\mu = \sum_{\nu\leq\mu} \psi_\nu $ et de la proposition 5.1 ,
 on d\'eduit la r\'ecurrence suivante pour les polyn\^omes 
${{\cal{E}}}_\mu(z) $:
\th \bf Proposition 5.2\rm|  Pour toute permutation $\mu$ ,
$$\sum_{\nu\leq\mu} (1-z)^{\ell(\mu)-\ell(\nu)} z^{\ell(\nu)} 
\, {{\cal{E}}}_\nu(1/z)  =  {{\cal{E}}}_\mu(z)\quad . $$
\finth

Par exemple, l'ensemble des permutations en dessous de 
$\mu=2413$  est  
$\matrix{ & {\scriptstyle 2413 }& \cr 
{\scriptstyle 1423} &{\scriptstyle 2143 }
&{\scriptstyle 2314 }\cr 
{\scriptstyle 1243 }&{\scriptstyle 1324 }
&{\scriptstyle 2134 }\cr 
&{\scriptstyle 1234 }\cr }$ , 
les polyn\^omes correspondants 
sont ${{\cal{E}}}_{1234}= 1 = {{\cal{E}}}_{1243}= {{\cal{E}}}_{1324}
={{\cal{E}}}_{2134} $ , $ {{\cal{E}}}_{1423}= {{\cal{E}}}_{2314}= 1+2z $ , $ 
{{\cal{E}}}_{2143}= 1+z $ , $ {{\cal{E}}}_{2413}= 1+9z+4z^2 $ 
et l'on a bien l'identit\'e
$(1-z)^3 + 3z(1-z)^2 + \big( 2(2z+z^2)+(z+z^2) \big) (1-z) + 
\underline{(4z+9z^2 + 1z^3)} = 
\underline{1+9z^2+4z^2} $  .

\vskip 3mm
Le polyn\^ome ${{\cal{E}}}_\mu(z)$ est, d'apr\`es 4.5 de degr\'e 
$\leq\ell(\mu)$ , en fait 
de degr\'e $\ell(\mu)-1$ ; on peut donc l'\'ecrire  
${{\cal{E}}}_\mu(z) = 1 +...+ c_\mu z^{\ell(\mu)-1}$ ; 
la proposition 5.2 entraine que  
$ F(z) \psi_{\mu^{-1}} \varepsilon  =
(c_\mu z + ...+ z^{\ell(\mu)})\big/(1-z)^{\ell(\mu)+1}$
   et donc   $c_\mu =a^E \psi_{\mu^{-1}} \varepsilon$ . 

La th\'eorie des \it bases standards \rm fournit une interpr\'etation 
combinatoire explicite des coefficients de la s\'erie rationnelle 
$\big(1/(1-za^E\big) \psi_{\mu^{-1}}$
 , comme nombre de \it tableaux de Young \rm satisfaisant 
certaines conditions (cf.Note1 : tableaux associ\'es \`a la 
permutation $\mu$, de formes $E, E+E, E+E+E, \ldots$~).
 La donn\'ee des $\big(\ell(�)+1\big)/2 $
premiers de ces coefficients, ainsi que des polyn\^omes 
${{\cal{E}}}_\nu $ , $\nu<\mu , \nu\neq \mu $, 
d\'etermine ${{\cal{E}}}_\mu $ gr\^ace \`a la sym\'etrie 5.2. Un contr\^ole est fourni par 
la valeur ${{\cal{E}}}_\mu(1)$ : celle-ci est \'egale (cf.Note 2), au degr\'e 
projectif de la vari\'et\'e de Schubert $\it Schub_{\omega\mu}\rm$
 pour le plongement de 
Pl\"ucker et peut se calculer comme un nombre de chemins dans le 
groupe sym\'etrique (pour l'ordre d'Ehresmann/Bruhat).

Pour ${\goth S}(4)$, les polyn\^omes sont :

${{\cal{E}}}_{1234}= 1 = {{\cal{E}}}_{1243}= {{\cal{E}}}_{1324}={{\cal{E}}}_{2134} $ ;
$ {{\cal{E}}}_{1342}= {{\cal{E}}}_{3124}= {{\cal{E}}}_{2314} = {{\cal{E}}} _{1423} = 
1+2z ,{{\cal{E}}}_{2143}= 1+z $ ;
$ {{\cal{E}}}_{2413}= 1+9z+4z^2 , {{\cal{E}}}_{3142} = 1+8z+3z^2 , {{\cal{E}}}_{2341} = 
{{\cal{E}}}_{4123} = 1+10z+5z^2 , {{\cal{E}}}_{3214} = {{\cal{E}}}_{1432} = 1+4z+z^2  
$ ;$ {{\cal{E}}}_{4132} = {{\cal{E}}}_{3241} = 
1+18z+24z^2+3z^3 , {{\cal{E}}}_{4213} = {{\cal{E}}}_{2431} = 1+19z+25z^2+3z^3 , {{\cal{E}}}_{3412} = 
1+25z+44z^2+8z^3 $ ;$ {{\cal{E}}}_{4312} = {{\cal{E}}}_{3421} 
= 1+38z+120z^2+58z^3+3z^4 , {{\cal{E}}}_{4231} = 
1+43z+150z^2+81z^3+5z^4 $ ; $ {{\cal{E}}}_{4321} = 1+57z+302z^2+302z^3+57z^4+z^5 $.  

\vskip 3mm
Comme d'apr\`es la note 1, il y a 5 tableaux standards associ\'es 
\`a 4231, le coefficient du terme dominant de 
${{\cal{E}}}_{4231}$ doit \^etre  
$c_{4231}= a^E \psi_{4231} = 5 $ 
 , ce que donne bien la table ; en outre 
${{\cal{E}}}_{4231}(1) = 280$ est bien le degr\'e de la vari\'et\'e $\it Schub_{\rm1324} \rm$.

Si $\mu$ est la permutation maximum d'un sous-groupe diagonal 
${\goth S}(p)\times{\goth S}(q)\times{\goth S}(r)\times\cdots$
 \big(i.e. si $\mu = (p)\cdots(1) (p+q)\cdots(p+1) 
(p+q+r)\cdots(p+q+1)\cdots$ \big), alors le polyn\^ome 
${{\cal{E}}}_\mu$ est le \it polyn\^ome Eul\'erien \rm de degr\'e 
$\ell(� )-1$ . Ainsi,  ${{\cal{E}}}_{214365} = 
1+4z+z^2 ={{\cal{E}}}_{32145}  $ ; 
$ {{\cal{E}}}_{32154}= 1+11z+11z^2+z^3  $ ; 
$ {{\cal{E}}}_{3215476} = 1+26z+66z^2+26z^3+z^4 $ 
; ${{\cal{E}}}_{321654}= 1+57z+302z^2+302z^3+57z^4+z^5 ={{\cal{E}}}_{43215} $.

Nous renvoyons \`a \bf[F-S] \rm pour la th\'eorie de ces polyn\^omes.

\titre \bf6.  Structure multiplicative \rm|

Une des propri\'et\'es essentielles de l'anneau de cohomologie de 
la vari\'et\'e de drapeaux est que le produit d'un cycle de Schubert 
par un cycle de codimension 1 soit une somme 
 \underbar{sans multiplicit\'e} de 
cycles de Schubert, i.e. on a la formule de Monk \bf[Mo] \rm:

$$\big[\it Schub_\mu\big]\rm\cdot\big[\it Schub\rm_{\sigma_p}\big]  
=  \sum  \big[\it Schub\rm_{\mu \tau_{ij}}\big]$$
somme sur toutes les transpositions $\tau_{ij}$
 telles que $i\leq p , j>p $ et 
que $\ell(\mu\tau_{ij} ) = \ell(\mu)+1 $, $[\it Schub_\mu\rm]$
 \'etant la classe de la vari\'et\'e de 
Schubert dans l'anneau de cohomologie. 

Dans le cas de la grassmannienne, cette formule est due \`a 
Pieri, et pour des espaces homog\`enes plus g\'en\'eraux, \`a Chevalley. 
Les vari\'et\'es de Schubert $\it Schub_\sigma\rm$ , $\sigma $ 
transposition simple, sont des sections hyperplanes, et 
leurs classes sont les classes de Chern des fibr\'es inversibles 
tautologiques. Plus g\'en\'eralement, les classes de Chern des fibr\'es 
tautologiques de la vari\'et\'e de drapeaux $\big($ i.e. des fibr\'es images 
r\'eciproques des fibr\'es tautologiques des grassmanniennes quotients 
de ${{\cal{F}}}(V)$ $\big)$ sont dites \it cycles de Schubert sp\'eciaux \rm et le produit d'un 
cycle de Schubert quelconque par un cycle sp\'ecial est une somme 
positive sans multiplicit\'e de cyles de Schubert $\big($~dont la 
description est donn\'ee en \bf[L-S1] \rm$\big)$.

Il est remarquable que l'absence de multiplicit\'e soit encore 
v\'erifi\'ee dans l'anneau de Grothendieck et m\^eme, au niveau des 
polyn\^omes doubles de Grothendieck. Nous n'examinerons ici que le 
produit par les polyn\^omes correspondant aux sections hyperplanes, 
\`a partir du cas particulier sui\-vant.

\th \bf Proposition 6.1\rm|   Soient $p$ un entier, 
$1\leq p\leq n$ , $\mu$ une permutation 
dans ${\goth S}({\bboard {\bb{A}}})$ telle que $1\mu>\cdots >p\mu \quad \& \quad 
 (p+1)\mu>\cdots >(n+1)\mu \quad \& \quad 1\mu\neq n+1$ . Alors
$${\bboard G}_\mu \, {b_{1\mu}\cdots b_{p\mu} \over a_1\cdots a_p} = 
{\bboard G}_\omega \, \psi_{\omega\mu} = 
\sum_{\nu\geq\mu}(-1)^{\ell(\nu)-\ell(\mu)} {\bboard G}_\nu\quad . $$
\finth

\it Preuve \rm: par r\'ecurrence sur $p$ . Soit 
$\mu' :1\mu'= 1\mu , \ldots, (p-1)\mu' = 
(p-1)\mu \,  \& \,  p\mu'>(p+1)\mu'>\cdots >(n+1)\mu'$
 ; posons $p\mu = k $. Alors 
$\mu'\, \bf. \rm\, \sigma_{n+1-k}\cdots \sigma_p = \mu$  et $\ell(\mu') = 
\ell(\mu) + n+1-k-p $ .  On a donc :
$$\eqalign{
&{\bboard G}_\mu\, {b_{1\mu}\cdots b_{p\mu} \over a_1\cdots a_p}  \cr
&=  {\bboard G}_{\mu'} \pi_{n+1-k} \cdots \pi_p \* (b_{1\mu}
\cdots  b_{(p-1)\mu}/a_1\cdots a_{p-1})\* (b_k/a_p)  \cr
&{\buildrel 1 \over =}
 {\bboard G}_{\mu'} \* (b_{1\mu'} \cdots b_{(p-1)\mu'}/a_1\cdots a_{p-1}) 
\pi_{n+1-k} \cdots \pi_p \, b_k/a_p  \cr
&{\buildrel 2 \over =}
{\bboard G}_\omega \psi_{\omega\mu'} \pi_{n+1-k} \cdots \pi_p 
\, (b_k a_{p+1} a_{p+2} \cdots \big/ a_p a_{p+1} a_{p+2} \cdots ) \cr
&{\buildrel 3 \over =}
\,  {\bboard G}_\omega \psi_{\omega\mu'} 
{a_p \cdots a_{n+1-k} a_{n+3-k} \cdots a_{n+1} \over 
a_p \cdots a_{n+1}} \* \partial_{n+1-k}a_{n+2-k}\cdots 
a_p \partial_p a_{p+1} b_k   \cr
&{\buildrel 4 \over =}
\, {\bboard G}_\omega\psi_{\omega\mu'}(b_k/a_{n+2-k})
 (\partial_{n+1-k}a_{n+2-k})\cdots \* (\partial_pa_{p+1}) \cr
&{\buildrel 5 \over =}
\,  {\bboard G}_\omega\psi_{\omega\mu'}\* (b_k/a_{n+2-k})\psi_{n+1-k} \cdots \psi_p \cr
&{\buildrel 6 \over =}
\, \big({\bboard G}_\omega \big/(1-b_k/a_{n+1-k})\big) \psi_{\omega\mu'} (1-b_k/a_{n+1-k})
(b_k/a_{n+2-k}) \psi_{n+1-k}\cdots \psi_p \cr
&{\buildrel 7 \over =}
\,  \big({\bboard G}_\omega \big/(1-b_k/a_{n+1-k})\big) \psi_{\omega\mu'}
 (1-b_k/a_{n+1-k})\psi_{n+1-k} \cdots \psi_p  \cr
&{\buildrel 8 \over =}
\,  {\bboard G}_\omega  \psi_{\omega\mu'}\psi_{n+1-k}\cdots \psi_p  =  {\bboard G}_\omega \psi_{\omega\mu} \cr
&{\buildrel 9 \over =}
  \sum_{\nu\geq\mu}(-1)^{\ell(\nu)-\ell(\mu)} {\bboard G}_\nu \cr }$$


$\big($ ${\buildrel 1 \over =}$
 puisque $a_1 , \ldots, a_{p-1}$
 commutent avec $\pi_p , \ldots,\pi_{n+1-k} $ \ ; \
${\buildrel 2 \over =}$ par 
r\'ecurrence sur $p$ \ ; \ 
${\buildrel 3 \over =}$ et ${\buildrel 4 \over =}$
 en utilisant que  $\partial_i$ commute avec tout 
$a_j$ , pour $ j\neq i,i+1$ et en explicitant $\pi_i = a_i\partial_i $ \ ; \ 
${\buildrel 5 \over =}$ \ puisque $\psi_i = \partial_i a_{i+1}$ \ ; \ 
${\buildrel 6 \over =}$
\  puisque $(1-b_k/a_{n+1-k})$ est un scalaire pour $\pi_{\omega\mu'} $ \ ; \ 
${\buildrel 7 \over =}$
 \ car la sym\'etrie de 
$\big({\bboard G}_\omega \big/(1-b_k/a_{n+1-k})\big) \, \psi_{\omega\mu'}
\, (1-b_k/a_{n+1-k})(1-b_k/a_{n+2-k})$ en 
$a_{n+1-k} $ et $a_{n+2-k} $ entraine 
que son image par $\psi_{n+1-k}$ soit nulle \ ; \
${\buildrel 8 \over =}$
 en reportant \`a gauche le facteur $(1-b_k/a_{n+k-1}) $ \ ; \ 
${\buildrel 9 \over =}$
  d'apr\`es l'expression 1.13  de $\psi$  en fonction de $\pi$  $\big)$
\qquad \qed

\vskip 3mm
L'intervalle $[\omega,\mu]$ est tr\`es particulier et peut \^etre d\'ecrit \`a 
l'aide des permutations inverses, ce qui revient \`a utiliser les 
op\'erateurs \'el\'ementaires $\phi_j$ d\'efinis par

$$         {\bboard G}_\mu \phi_j = \cases{
\ {\bboard G}_{\sigma_j \mu} - {\bboard G}_\mu  
& si $\ell(\sigma_j\mu) < \ell(\mu)$ \cr
\ \qquad  0  & autrement \cr }
\quad , \leqno \bf(6.2) \rm$$

c'est-\`a-dire  ${\bboard G}_{..j+1..j..} \phi_j = {\bboard G}_{..j..j+1..}- 
{\bboard G}_{..j+1..j..}$
 et ${\bboard G}_{..j..j+1..} \phi_j = 0  $.

Les produits d'op\'erateurs $\phi_j$ sont 
not\'es $\phi_\zeta$ .Ces derniers  
commutent avec les op\'erateurs $\pi_\mu$ et $\psi_\mu$ .
 En outre, pour toute 
permutation $\mu$ ,on a l'identit\'e
$$                 {\bboard G}_\omega \, \phi_{\omega\mu}  =  {\bboard G}_\omega \, \psi_{\omega\mu^{-1} }
\quad , \leqno \bf(6.3)  \rm$$
puisque $\omega\mu = \sigma_i \sigma_j \cdots \sigma_h  \Rightarrow 
\omega \mu^{-1} = \omega \sigma_h \cdots \sigma_j \sigma_i \omega = 
(\omega\sigma_h\omega) \* \cdots \* (\omega\sigma_j\omega)\* (\omega\sigma_i\omega) $.

Ainsi donc, la proposition 6.1 prend la forme \'equivalente
$${\bboard G}_\mu (b_{1\mu}...b_{p\mu})/(a_1...a_p) 
= {\bboard G}_\omega \phi_{\omega\mu^{-1}} = \sum_{\nu\geq\mu}(-1)^{\ell(\nu)-\ell(\mu)} {\bboard G}_\nu$$
Par ailleurs, pour tout $j\neq p$ , 
$ {\bboard G}_\mu\, { b_{1\mu}\cdots b_{p\mu} \over a_1\cdots a_p} \, \pi_j = 
{\bboard G}_\mu\,  \pi_j\, { b_{1\mu}\cdots b_{p\mu} \over a_1\cdots a_p} $. 
De plus, pour tout $j$, $\pi_j$ commute avec les 
op\'erateurs $\phi_\mu$ . Enfin, l'image par un op\'erateur 
$\pi_j$ d'une somme   $ \sum  _{{{\cal{S}}}} (-1)^{\ell(\nu)} {\bboard G}_\nu $,
 pour une famille quelconque ${{\cal{S}}}$~, 
est une somme 
sans multiplicit\'e puisque ${\bboard G}_\nu \, \pi_j = {\bboard G}_{\nu'}\, \pi_j 
\ \& \ \nu\neq\nu' \Rightarrow \nu'= \nu\sigma_j $ et 
$({\bboard G}_\nu- {\bboard G}_{\nu'}) \, \pi_j = 0 $.
 En r\'esum\'e, sachant que $(b_1...b_p/a_1...a_p)$ n'est 
autre que $1 - {\bboard G}_\sigma$ , on a le th\'eor\`eme suivant :
\th \bf Th\'eor\`eme 6.4 \rm|   Soient $\eta$ une permutation, 
$p$ un entier : $1\leq p\leq n$, $\mu$ 
la permutation de plus grande longueur dans la classe de 
$\eta$ modulo  ${\goth S}(p)\times {\goth S}(n+1-p) $. Alors
$$\eqalign{
 {\bboard G}_\eta \cdot (1-{\bboard G}_{\sigma_p}) 
\, {b_{1\eta} ... b_{p\eta} \over b_1 ... b_p }  &=
{\bboard G}_\omega \, \psi_{\omega\mu} \, \pi_{\mu^{-1}\eta} \cr  
&= {\bboard G}_\omega \, \phi_{\omega \mu^{-1}} \pi{\mu^{-1}\eta}  
=  {\bboard G}_{\omega \mu^{-1}\eta} \, \phi_{\omega \mu^{-1}} \cr }$$
En outre, ce produit est une somme sans multiplicit\'e de polyn\^omes 
de Grothendieck. \finth

\it Exemple. \rm\quad   Soient $p=2$ , $\eta = 1342$ 
(et donc $\mu = 3142$ ). Alors
${\bboard G}_{1342}(1-{\bboard G}_{1324}) = {\bboard G}_{4321}\pi_1\phi_{3142} = 
{\bboard G}_{3421}\phi_{3142} = {\bboard G}_{3421}\phi_2\phi_1\phi_3 = 
({\bboard G}_{2431}-{\bboard G}_{3421})\phi_1\phi_3 = ({\bboard G}_{1432}- {\bboard 
G}_{2431}- {\bboard G}_{3412}+ {\bboard G}_{3421})\phi_3 =
{\bboard G} _{342}- {\bboard G}_{1432}- {\bboard G}_{2341}+ {\bboard G}_{2431}- 0 + 
0 $ 
et c'est aussi
$ ({\bboard G}_{4321}\phi_{3142})\pi_1 = 
({\bboard G}_{3142}-{\bboard G}_{4132}- {\bboard G}_{3412}- {\bboard G}_{3241}
+ {\bboard G}_{4312}+ {\bboard G}_{4231}+ {\bboard G}_{3421}- {\bboard G}_{4321})\pi_1  = 
{\bboard G}_{1342}- {\bboard G}_{1432}- {\bboard G}_{3412}- {\bboard G}_{2341}+ 
{\bboard G}_{3412}+ {\bboard G}_{2431}+ {\bboard G}_{3421}- {\bboard G}_{3421} . $

\vskip 3mm
Nous attirons l'attention sur l'int\'er\^et qu'il y aurait \`a 
expliciter les propri\'et\'es des 
ensembles de permutations apparaissant
dans le produit ${\bboard G}_\eta (1-{\bboard G}_{\sigma_p})$. Ces ensembles 
ne sont en g\'en\'eral pas des intervalles. De mani\`ere \'equivalente, 
on peut rechercher les relations entre les produits 
quelconques d'op\'erateurs $\psi_\mu$ et $\pi_\zeta$. 
De tels calculs sont intimement li\'es aux propri\'et\'es des 
intervalles dans le groupe sym\'etrique 
(pour l'ordre d'Ehresmann/Bruhat) et 
aux singularit\'es des vari\'et\'es de Schubert.

De la formule de Monk r\'esulte ais\'ement que si $\mu$ est un 
produit direct : $\mu = \mu'\times \mu"$  dans 
${\goth S}(k)\times {\goth S}(n+1-k)$ , alors 
$$\big[\it Schub_\mu\big] \rm= \big[\it Schub_{\mu\rm'}\big]\rm\cdot\big[\it Schub_{\mu\rm"}\big]  \rm$$
Il serait beaucoup plus compliqu\'e de v\'erifier la propri\'et\'e de 
factorisation analogue pour les polyn\^omes de Grothendieck \`a partir 
de 6.4, puisque cette formule fait intervenir les permutations 
dans l'image d'un intervalle. Il est plus appropri\'e d'utiliser les 
op\'erateurs $\Xi_p = \pi_p- \partial_p $ mentionn\'es au paragraphe 1.

\th \bf Lemme 6.5\rm|  Soit $\mu$  (resp $\nu : \nu\leq\mu$) 
une permutation dont le code $J$ 
v\'erifie : pour tout $p$ , $pJ -(p+1)J = 0 $ ou $1$ 
(resp. $pH - (p+1)H = 0 $  ou $1$). 
Alors les op\'erateurs  $G_\mu \pi_{\mu^{-1}\nu}$  et 
$\Xi_{\mu^{-1}\nu} G_\nu $ sont identiques, i.e., 
pour toute $f$ dans $\bf K\rm[{\bboard {\bb{A}}}]$ , on a 
$$ f \, G_\mu \, \pi_{\mu^{-1}\nu}  =  f  \, \Xi_{\mu^{-1}\nu} \, G_\nu  $$
\finth

\it Preuve. \rm Soit $p$ tel que  
$pJ = (p+1)J+1 \, \& \,  \mu\sigma\geq\nu$ , avec $\sigma=\sigma_p $. Alors \
$G_\mu = (1-1/a_p) G_{\mu\sigma}$  \ et \  
$G_\mu \, \pi_{\mu^{-1}\nu}  =  (1-1/a_p) G_{\mu\sigma} \, \pi_\sigma \, \pi_{\sigma \mu^{-1}\nu}
 {\buildrel 1 \over=} 
 {(1-1/a_p)}\* {\pi_\sigma \, G_{\mu\sigma} \, \pi_{\sigma\mu^{-1}\nu}}
\, {\buildrel 2 \over =} \, 
{ (1-1/a_p) \, \pi_\sigma \, \Xi_{\sigma\mu^{-1}\nu} \, G_\nu }
\, {\buildrel 3\over =} \,  {\Xi_\sigma \, \Xi_{\sigma\mu^{-1}\nu} \, G_\nu }\, =
\, {\Xi_{\mu^{-1}\nu} \, G_\nu} $ 

\vskip -2mm \noindent
 $\big(\, {\buildrel 1\over =}$
 puisque $G_{\mu\sigma}$ est sym\'etrique en $a_p$ et $a_{p+1}$ 
;  ${\buildrel 2\over=}$
 par r\'ecurrence sur la longueur de $\mu^{-1}\nu $ \ ; \ 
${\buildrel 3\over =}$ puisque $\pi_\sigma = a_p \partial_\sigma \ \big)$  \quad \qed

\th \bf Corollaire 6.6\rm|  Soient $k$ un entier , 
$\omega' = (k)(k-1)\cdots(1)\* (k+1)\cdots(n+1) \ , 
\ \omega" = (1)\cdots(k) (n+1)(n)\cdots(k+1)$  .
 Alors
$$   G_{\omega'\omega"}  =  G_{\omega'} \cdot  G_{\omega"}  \quad . $$ \finth

\it Preuve. \rm Sur un exemple : Soit $\mu = 567 1234 $. On a 
$G_{3217654}= G_{7654321} \, \pi_\mu \, 
{\buildrel 1\over =}\,  {G_{4321567} \cdot
 G_{4567321}\, \pi_\mu} \, {\buildrel 2\over =}
\,  {G_{4321567} \, \Xi_\mu \, G_{3214567}} $.

\vskip 2mm   \noindent
 L'image de cette \'egalit\'e par $\pi_1 \, \pi_2 \, \pi_1$ est 

\noindent
$$\eqalign{ G_{1237654} &= G_{4321567}\, \Xi_\mu 
\, G_{3214567} \pi_1\, \pi_2\, \pi_1  \, {\buildrel 1\over =}
\,  G_{4321567} \Xi_\mu \, \Xi_{3214567} \cr
&{\buildrel 3\over =}
\,  G_{4321567} \, \Xi_{1234765} \, \Xi_\mu  
\, {\buildrel 4\over =} \, G_{4321567} \, \Xi_\mu \cr }$$  

\vskip -2 mm
\noindent et l'on a bien 
\vskip -2mm
$$G_{3217654} =  G_{3214567} \big( G_{4321567} \, \Xi_\mu \big) =
 G_{3214567} \cdot G_{1237654} $$
$\big( {\buildrel 1\over =}$ 
 d'apr\`es l'expression de $G_\omega = (1-1/a_1)^6\cdots (1-1/a_7)^0 $ ; 
${\buildrel 2\over =}$ : lemme 6.5 ; 
${\buildrel 3\over =}$\  puisque 
$\mu \sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 = \sigma_5 \sigma_6 \sigma_5 \mu  $ ;  
${\buildrel 4\over =}$ \ car $G_{4321} $ 
commute avec $\Xi_5$ et $\Xi_6$, et  $1 \, \Xi_5\Xi_6\Xi_5 = 1 \, \pi_5\pi_6\pi_5 = 1 \ \big)$ 
\qed

\vskip 3mm
Si $\mu = \mu'\times \mu"$  appartient au produit direct 
${\goth S}(k)\times {\goth S}(n+1-k)$ , 
alors  $G_\mu = G_{\omega'\omega"} \pi_{\omega'\mu'} \pi_{\omega"\mu"} $ ; 
du corollaire 6.6 s'ensuit donc :

\th \bf Proposition 6.7\rm|  Soient k un entier, 
$\mu = \mu'\times \mu"$ une permutation 
appartenant au produit direct 
${\goth S}(k)\times {\goth S}(n+1-k)$ . Alors 
$$G_\mu   =  G_{\mu'} \cdot G_{\mu"}\quad . $$  \finth

\titre \bf7.  Anneau de Grothendieck \rm|

Soient $V$ un fibr\'e vectoriel de rang 
$n+1$ sur une base quelconque 
${{\cal{M}}}$, $r$ un entier : $1\leq r\leq n$ , $D\in {\bb{N}}^r$
 un vecteur croissant : 
$1D<2D<\cdots<rD\leq n+1 $ , ${{\cal{F}}}(V)$
 la vari\'et\'e des drapeaux complets dans $V$, 
${{\cal{F}} }(V)$ la vari\'et\'e des drapeaux 
(quotients de $V$) de rangs respectifs 
$1D, 2D,\ldots, rD$. Soit de plus ${\bboard {\bb{A}}}$
 un ensemble d'ind\'etermin\'ees de 
cardinal $n+1$ . 

L'anneau de Grothendieck $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$
 de ${{\cal{F}}}(V)$ s'identifie au 
quotient de $\bf K\rm({{\cal{M}}})\big[a_1,1/a_1,\ldots,a_{n+1},1/a_{n+1}\big] 
= \bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}]$ par l'id\'eal ${{\cal{J}}}$ 
engendr\'e par la relation gradu\'ee :
$$ (1+a_1) \cdots (1+a_{n+1}) = 1 
+ V + \Lambda^2V + \cdots + \Lambda^{n+1}V$$

Les images des $a_i$ sont les classes des fibr\'es inversibles 
tautologiques ( l'image de $a_1$ est la classe de 
${{\cal{O}}}(1)$, image r\'eciproque du 
fibr\'e inversible tautologique de ${\bb{P}}(V)$ ). 
L'anneau $\bf K\rm({{\cal{M}}})$ est le sous-anneau de 
$\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ des invariants sous 
l'action de 
${\goth S}({\bboard {\bb{A}}})$ ;  $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ est un 
$\bf K\rm({{\cal{M}}})$-module libre de base les polyn\^omes de 
Grothendieck.

Le morphisme $\pi_\omega : \bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}] 
\longrightarrow \bf K\rm({{\cal{M}}}) $ factorise en la 
surjection $\bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}] \longrightarrow \bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}]/{{\cal{J}}} = \bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$
 et la projection 
canonique  $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big) \longrightarrow \bf K\rm({{\cal{M}}})$ que nous noterons encore $\pi_\omega $.
$\bf K\big(\rm{{\cal{F}} }(V)\big)$ s'identifie au sous-anneau de 
$\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big)$ engendr\'e par les 
fonctions invariantes par le produit direct  
${\goth S}_D$  des groupes 
sym\'etriques ${\goth S}(1D) \times {\goth S}(2D-1D) \times \cdots $
  , i.e. le sous-anneau des 
fonctions sym\'etriques en $\{a_1 , \ldots , a_{1D}\}$
 , sym\'etriques en 
$\{a_{1D+1} , \ldots , a_{2D}\} ,\ldots $.
 C'est en outre un $\bf K\rm({{\cal{M}}})$-module 
libre de base les polyn\^omes de Schubert 
$G_\mu $, pour les $\mu\in {\goth S}({\bboard {\bb{A}}})$ tellles que 
$1\mu<\cdots<(1D)\mu $ ; $(1D+1)\mu<\cdots<(2D)\mu 
\ ; \ \ldots $  Soit $\omega_D$ la permutation 
$\big(1D\big) \big(1D-1\big)\cdots \big(1\big) \big(2D\big) \cdots 
\big(1D+1\big) \cdots \big((n+1)D\big) \cdots\big(rD+1\big)$ , i.e. la 
permutation maximale dans la classe de l'identit\'e modulo ${\goth S}_D$.
La projection $\bf K\big(\rm{{\cal{F}}}(V)\big) \longrightarrow \bf K\big(\rm{{\cal{F}} }(V)\big)$
 est induite par $\pi_{\omega_D}$  et la 
projection $\bf K\big(\rm{{\cal{F}} }(V)\big) \longrightarrow \bf K\rm({{\cal{M}}})$ co\"{\i}ncide 
avec la restriction de $\pi_\omega$ .

De la construction de Demazure \bf[D3] \rm et Bernstein-Gelfand -Gelfand
 \bf[B-G-G]\rm, il ressort que l'image de $G_\mu$
 dans $\bf K\big(\rm{{\cal{F}} }(V)\big)$ est la classe 
du faisceau structural de la vari\'et\'e de Schubert d'indice $\mu$ .

Les grassmanniennes sont le cas des drapeaux de longueur 1 , 
i.e. le cas $r=1$ . Posons alors $1D=p$
 et \'ecrivons ${{\cal{G}} }(V)$ au lieu de 
${{\cal{F}} }(V)$. Les polyn\^omes de Grothendieck correspondant sont des 
fonctions (sym\'etriques) de $a_1, \ldots, a_p$
 seulement, puisque la 
croissance  $(p+1)\mu< \cdots < (n+1)\mu$
  implique qu'alors ${\bboard G}_\mu$ soit 
sym\'etrique en $a_{p+1} , \ldots, a_{n+1}$
 , donc de degr\'e 0 en chacune de ces 
variables ( tout ${\bboard G}_\nu , \nu\in ({\goth S}{\bboard {\bb{A}}}_{n+1}) $,
 est de degr\'e 0 en $a_{n+1}$ ).

On a donc que $\bf K\big(\rm{{\cal{G}} }(V)\big)$
 est le quotient de l'anneau des 
polyn\^omes sym\'etriques en ${\bboard {\bb{A}}}_p$  \`a coefficients les polyn\^omes 
sym\'etriques en ${\bboard {\bb{A}}} $ :  
$\Big( \bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}]
^{{\goth S }({\bboard A })} 
 \big[{\bboard {\bb{A}}}_p\big]\Big)^{{\goth S}({\bboard {\bb{A}}}_p)} 
= \bf K\rm({{\cal{M}}})[{\bboard {\bb{A}}}]^{{\goth S}
({\bboard {\bb{A}}}_p)\times
{\goth S}
({\bboard {\bb{A}}}\setminus {\bboard {\bb{A}}}_p)} $ par les relations  

\vskip -2mm
$$ \Lambda^{n-p+1}({\bboard {\bb{A}}}-{\bboard {\bb{A}}}_p) = 0 = \ldots = \Lambda^{n+1}({\bboard 
{\bb{A}}}-{\bboard {\bb{A}}}_p) $$

\noindent 
 (on utilise ici la structure de 
$\lambda$-anneau de l'anneau des polyn\^omes :
les $a_i$ sont des \'el\'ements de rang 1 ; ${\bboard {\bb{A}}}_p$
 est consid\'er\'e comme le 
polyn\^ome de degr\'e 1 : $a_1+\cdots +a_p$
   et son image est la classe du 
fibr\'e quotient tautologique de 
${{\cal{G}}}_p(V)$ ; l'image de ${\bboard {\bb{A}}} \setminus {\bboard {\bb{A}}}_p$ est la 
classe du fibr\'e noyau tautologique. Les relations ci-dessus 
expriment que ${\bboard {\bb{A}}} \setminus {\bboard {\bb{A}}}_p$ est de rang $\leq n-p$ ).

Les permutations associ\'ees \`a la grassmanienne sont toutes 
vexillaires, et donc les polyn\^omes ${\bboard G}_\mu$ pour les vari\'et\'es de 
Schubert de la grassmannienne admettent l'expression 3.11. 
Dans \bf[L1]\rm, ch.II, on trouve une expression plus g\'en\'erale pour 
$a^I{\bboard G}_\mu $ qui admet comme cas particulier la 
formule de postulation de Hodge 
et l'expression d\'eterminantale d'un cycle de Schubert due \`a 
Giambelli \bf[Gi] \rm.

La projection  $\bf K\big(\rm{{\cal{G}}}_p(V)\big) \longrightarrow \bf K\rm({{\cal{M}}})$
  est induite par $\pi_\omega$ , comme 
pour toute vari\'et\'e de drapeaux. Tenant compte des sym\'etries, on 
peut en fait r\'eduire la sommation 1.1 qui exprime 
l'op\'erateur $\pi_\omega$ \`a un sous-ensemble de 
repr\'esentants des classes de ${\goth S}({\bboard {\bb{A}}}_{n+1}) $ 
modulo ${\goth S}({\bboard {\bb{A}}}_p) \times {\goth S}
({\bboard {\bb{A}}} \setminus  {\bboard {\bb{A}}}_p)$. 
On trouve dans les articles de 
Sylvester de nombreuses formules 
relatives \`a cette sommation $\big($ i.e. \`a la 
restriction de $\pi_\omega$ \`a l'anneau  
$ {\bboard Z}[{\bboard {\bb{A}}}]^{{\goth S}
({\bboard {\bb{A}}}_p)\times {\goth S}({\bboard {\bb{A}}} \setminus {\bboard {\bb{A}}}_p) 
} \, )$ qu'il avait obtenue comme g\'en\'eralisation de la 
formule d'interpolation de Lagrange.

\titre \bf Note 1.  Bases standards \rm|

Un \it tableau de Young \rm de forme une partition est un remplissage 
du diagramme de cette partition par des entiers positifs tel que 
l'on ait croissance stricte dans les colonnes de bas en haut et 
croissance large dans les lignes de gauche \`a droite. Soient 
$t_1 , \ldots ,t_r$ les colonnes successives de
 $t$ , consid\'er\'ees comme des mots 
(croissants). L'\'e\it valuation \rm$\bf Ev\rm(t)$ d'un tableau est le mon\^ome image 
du mot  $t_1 \cdots t_r $ par le 
morphisme $i \longrightarrow a_i$ . Chaque colonne $t_i$ 
peut \^etre lue, \`a la suite de Hodge,  comme une \it coordonn\'ee de 
Pl\"ucker\rm, le tableau \'etant alors le produit des coordonn\'ees de 
Pl\"ucker que sont ses colonnes (cf.\bf[D-E-P1]\rm, \bf[D-E-P2] \rm).

Soient $\mu_0 =${\it identit\'e} , $\mu_i \, , \, 1\leq i\leq r$, 
la plus petite permutation (pour 
l'ordre d'Ehresmann/Bruhat) qui ait pour facteur gauche $t_i$ et 
telle que $\mu_i \geq \mu_{i-1}$ . Posons $\mu_r = \mu(t)$.
 L'ensemble des tableaux 
tels que $\mu(t)$ est une permutation donn\'ee 
$\mu$ est dit \it base standard 
associ\'ee \`a \rm$\mu$ par \bf[L-M-S]\rm. La th\'eorie d\'evelop\'ee par ces auteurs 
montre qu'une base de l'espace des sections de 
$L^I $, $I$ dominant, au 
dessus de la vari\'et\'e de Schubert 
$\it Schub_{\omega\mu}\rm$ est form\'ee de l'ensemble 
des tableaux $t$ tels que $\mu(t)\leq \mu $. 

On pr\'ef\`ere dans \bf[L-S3] \rm interpr\'eter un tableau 
$t$ comme le mot produit des lignes succesives de 
$t$ dans l'alg\`ebre libre sur ${\bboard {\bb{A}}}$ ; 
remontant \`a cette alg\`ebre l'action du groupe sym\'etrique et les 
op\'erateurs $\pi_\mu$ , on obtient, pour 
$I$ dominant et $\mu$ quelconque :
$$(\, \cdots \, a_2^{2I} \, a_1^{1I}\, ) \ \psi_\mu \,  = \,  \sum  \, t$$
somme sur tous les tableaux de forme  
$I$  tels que $\mu(t)$ = $\mu$ .

\vskip 3mm
Par exemple, pour $I = 3210$ , $\mu = 4231$ , on a :

\vskip 3mm
\setbox2=\hbox{\it Tableaux}
\setbox33=\hbox{\it Colonnes}
\setbox34=\hbox{\it successives}
\setbox3=\vbox{\box33 \box34}
\setbox44=\hbox{\it Suite croissante} 
\setbox45=\hbox{\it de permutations}
\setbox4=\vbox{\box44 \box45 }
\setbox55=\hbox{\it Mot dans l'}
\setbox56=\hbox{\it alg\`ebre libre }
\setbox5=\vbox{\box55 \box56}
\setbox61=\hbox{${}_4$}
\setbox62=\hbox{${}^{23}_{124}$}
\setbox6=\vbox{\box61 \box62}
\setbox7=\hbox{$124, 23, 4$}
\setbox8=\hbox{$1243\leq 2341\leq 4231$}
\setbox9=\hbox{$a_4\cdot a_2a_3\cdot a_1a_2a_4$}
\setbox101=\hbox{${}_4$}
\setbox102=\hbox{${}^{33}_{124}$}
\setbox10=\vbox{\box101 \box102}
\setbox11=\hbox{$134,23,4$}
\setbox12=\hbox{$1342\leq 2341\leq 4231$}
\setbox13=\hbox{$a_4\cdot a_3a_3\cdot a_1a_2a_4$}
\setbox141=\hbox{${}_4$}
\setbox142=\hbox{${}^{34}_{124}$}
\setbox14=\vbox{\box141 \box142}
\setbox15=\hbox{$134, 24, 4$}
\setbox16=\hbox{$1342\leq 2341\leq 4231$}
\setbox17=\hbox{$a_4\cdot a_3a_4\cdot a_1a_2a_4$}
\setbox181=\hbox{${}_4$}
\setbox182=\hbox{${}^{33}_{224}$}
\setbox18=\vbox{\box181 \box182}
\setbox19=\hbox{$234, 23, 4$}
\setbox20=\hbox{$2341\leq 2341\leq 4231$}
\setbox21=\hbox{$a_4\cdot a_3a_3\cdot a_2a_2a_4$}
\setbox221=\hbox{${}_4$}
\setbox222=\hbox{${}^{34}_{224}$}
\setbox22=\vbox{\box221 \box222}
\setbox23=\hbox{$234, 24, 4$}
\setbox24=\hbox{$2341\leq 2341\leq 4231$}
\setbox25=\hbox{$a_4\cdot a_3a_4\cdot a_2a_2a_4$}
\def\TraitHorizontal{\noalign{\hrule}}
\def\tv{\vrule height 24pt depth 5pt}
$$\vbox{\offinterlineskip\halign{
\tv\hfill\quad#\quad\hfill &
\tv\quad#\quad\hfill &
\tv\quad#\quad\hfill &
\tv\hfill\quad#\quad &
\tv#             \cr
\TraitHorizontal
{\raise 2mm\box2} &\box3 &\box4 &\box5 &\cr
\TraitHorizontal
\box6 &\box7 &\box8 &\box9 &\cr
\box10 &\box11 &\box12 &\box13 &\cr
\box14 &\box15 &\box16 &\box17 &\cr
\box18 &\box19 &\box20 &\box21 &\cr
\box22 &\box23 &\box24 &\box25 &\cr 
\TraitHorizontal    } } $$


L'assertion pr\'ec\'edente est que, dans l'alg\`ebre libre, 
$a_4^0 a_3^1 a_2^2 a_1^3 \psi_{4231}$
  est \'egale \`a la somme des mots figurant \`a droite, i.e. \`a  
$a_4\cdot a_2a_3\cdot a_1a_2a_4 + 
a_4\cdot a_3a_3\cdot a_1a_2a_4 + a_4\cdot a_3a_4\cdot a_1a_2a_4
+ a_4\cdot a_3a_3\cdot a_2a_2a_4 + a_4\cdot a_3a_4\cdot a_2a_2a_4 $.

On a donc, par image commutative dans ${\bboard Z}[{\bboard {\bb{A}}}]$, 
$a_4^0 a_3^1 a_2^2 a_1^3 \psi_{4231}  =  
 a_1a_2a_3a_4^2 (a_2+ a_3+ a_4) + a_2^2a_3a_4^2(a_3+a_4) $.

\titre \bf Note 2.  Degr\'e d'une vari\'et\'e de 
Schubert pour un plongement projectif \rm|

L'ordre d'Ehresmann/Bruhat sur le groupe sym\'etrique 
correspond \`a l'inclusion des cellules de Schubert dans la 
d\'ecomposition cellulaire de la vari\'et\'e de drapeaux (cf.\bf[E]\rm). 
Nous avons besoin d'enrichir cet ordre et de consid\'erer le graphe 
orient\'e suivant (cf.\bf[L-S2] \rm pour plus de d\'etails) :


$\bullet$ \quad Les sommets sont les permutations $\in {\goth S}(n+1)$

$\bullet $ \quad Chaque ar\^ete a une \it couleur\rm, i.e. il existe un morphisme de 
l'ensemble des ar\^etes dans un ensemble  ${{\cal{C}}} = 
\{c_1 , \ldots, c_n\}$ dont 
les \'el\'ements sont dits couleurs.

$\bullet$\quad  Il existe une ar\^ete d'extr\'emit\'es 
$\mu, \nu$  si et seulement si 
$\ell(\nu) = \ell(\mu)+1 \ \& \ \nu \mu^{-1}$
 est une transposition. Dans ce cas, 
$\nu \mu^{-1} = \tau_{i\,j+1}  \, \Rightarrow \, \mu$ et $\nu$
 sont joints par $j-i$ ar\^etes de couleurs 
respectives  $c_i , c_{i+1} , \ldots, c_j $. 

Par exemple, il y a trois ar\^etes 
$c_2 , c_3 , c_4 $ joignant $\mu=4 \underline 2
 61 \underline 5 3$  \`a $\nu = 4 \underline 5 61 
\underline 2 3$ puisque 
$\nu\mu^{-1} = \tau_{25}$  et que $\ell(\nu) = \ell(\mu)+1$ .

Deux permutations $\mu, \eta$
 sont comparables pour l'ordre d\'efini 
au paragraphe 1 si et seulement il existe au moins un 
chemin les joignant.

A tout chemin, on associe le mot de l'alg\`ebre libre sur 
${{\cal{C}}}$  (not\'ee ${\bboard Z}[{{\cal{C}}}^*]$ ) obtenu en lisant les ar\^etes 
dans l'ordre o\`u elles 
se pr\'esentent sur ce chemin ; \`a une permutation 
$\mu$, on associe la 
somme $C_\mu \in {\bboard Z}[{\cal{C}}^*]$ de tous les chemins de $\mu$ \`a $\omega$ .

Il est remarqu\'e dans \bf[L-S2] \rm( en interpr\'etant les chemins comme 
des produits par les cycles fondamentaux 
$[\it Schub_\sigma\rm]$ ) que $C_\mu$ est 
invariant par l'action du groupe sym\'etrique 
${\goth S}\big(\ell(\mu\omega)\big)$ , i.e. invariant par permutation, 
dans chaque mot, de l'ordre des facteurs.

Ainsi, pour $\mu = 3214$,
$$\eqalign{
C_{3214}  = (c_1+ c_2+ c_3) &(c_2c_3+ c_3c_2+ c_3c_3) + \cr
&(c_2+ c_3) (c_1c_3+ c_3c_1) + c_3(c_1c_2+ c_2c_1+ c_2c_2) \quad .\cr}$$

L'\'el\'ement $C_\mu$ est donc d\'etermin\'e par le sous-ensemble des 
chemins croissants de $\mu$ \`a $\omega$ . 
Pour $\mu = 3214$, ce sous-ensemble est 
$\{ c_1c_2c_3 , c_1c_3c_3 $, $c_2c_2c_3 , c_2c_3c_3, c_3c_3c_3\} $.

Soit un plongement projectif de ${{\cal{F}}}(V)$
 et $\hbar$ la classe (dans 
l'anneau de cohomologie) d'une section hyperplane. L'\'el\'ement 
$[\it Schub_\mu\rm] \cdot \hbar^{\ell(\omega\mu)}$  est \'egal, 
par d\'efinition, \`a $d_\mu [\it Schub_\omega\rm]$ , o\`u $d_\mu $ 
est le \it degr\'e projectif \rm de la vari\'et\'e $\it Schub_\mu \rm$,
 $[\it Schub_\omega\rm]$ \'etant la classe de la vari\'et\'e de 
Schubert de codimension $\ell(\omega)$, 
c'est-\`a-dire la classe d'un point.

Cet entier $d_\mu$ est aussi, d'apr\`es \bf[B-G-G]\rm, th.3.12\it v) \rm, \bf[D3]\rm, 
th.1 p.78 , \'egal \`a  $\hbar^{\ell(\omega\mu)} \partial_{\mu^{-1}\omega}
  = d_\mu $. Soit $\hbar = h_1[\it Schub_\sigma\rm] + 
h_2[\it Schub_\sigma\rm] + \cdots $.  Alors $d_\mu$
 est l'image de  $C_\mu$  par le morphisme  
${\bboard Z}[{{\cal{C}}}^* ] \longrightarrow {\bboard Z} \, :\,  c_i -\longrightarrow h_i $ .  
Ainsi, d'apr\`es la valeur de $C_{3214} $ 
calcul\'ee plus haut, on a 
$d_{3214} = 6 h_1h_2h_3 + 3 h_1h_3h_3 +  3 h_2h_2h_3 + 3 h_2h_3h_3+ h_3h_3h_3 $.

\titre \bf R\'ef\'erences \rm|

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