POLYNÔMES HARMONIQUES

Alain Lascoux

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Résumé. Nous décrivons l’espace des polynômes annulés par le Laplacien \frac{1}{2} ∑ \frac{d^{2}}{dx^{2}} en tant que représentation du groupe symétrique.

Décembre 1999

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Laplacien et multiplication par r^{2}

Soient n indeterminées x_{1}, …, x_{n}. Le Laplacien est la demi-somme des carrés des dérivées partielles

∇ := \frac{1}{2} ∑ ∂_{x}^{2}

Une fonction est harmonique ssi elle est annulée par le Laplacien.

Le Laplacien vérifie des relations de commutation simples avec la multiplication par r^{2} := ∑ x^{2}. En effet :

∇ r^{2} − r^{2} ∇ = 2 ∑ x∂_{x} + n = 2 Eul + n  (1)

où Eul est l’ opérateur d’Euler ∑ x∂_{x}.

Soit ℍ l’espace des polynômes harmoniques, ℍ^{k} le sous-espace des polynômes harmoniques homogènes de degré k.

La relation (1) permet de décomposer l’espace Pol des polynômes en x_{1}, …, x_{n} :

Proposition. L’espace des polynômes décompose en une somme directe

Pol ≃ ℍ ⊕ r^{2}ℍ ⊕ (r^{2})^{2}ℍ ⊕ (r^{2})^{3}ℍ ⊕ · · · .  (2)

La restriction à la composante homogène de degré k de la projection ℘ : Pol ↦ ℍ induite par la décomposition est égale à

℘ = ∑_{i=0}^{∞} \frac{(−r^{2})^{i}}{i!(n + 2k − 4)(n + 2k − 6) ⋯ (n + 2k − 2 − 2i)} ∇^{i} . (3)

Ainsi, pour un polynôme de degré k, f = h_{0} + r^{2}h_{1} implique que h_{0} = f − \frac{r^{2}}{(n+2k−4)}∇(f), h_{1} = \frac{1}{n+2k−4} ∇(f). Au cran suivant, f = h_{0} + r^{2}h_{1} + (r^{2})^{2}h_{2} implique

h_{0} = f − \frac{r^{2}}{n + 2k − 4} ∇(f) + \frac{(r^{2})^{2}}{2(n + 2k − 4)(n + 2k − 6)} ∇^{2}(f) ,

h_{1} = \frac{1}{(n + 2k − 4)} ∇(f) − \frac{r^{2}}{(n + 2k − 6)(n + 2k − 8)} ∇^{2}(f) ,

h_{2} = \frac{1}{2(n + 2k − 4)(n + 2k − 6)} ∇^{2}(f) .

La proposition précédente a une formulation en terme de représentation :

Proposition. Les opérateurs E := ∇, F := r^{2}/2, H := Eul + n/2 représentent les générateurs de Sl(2, ℂ). Les polynômes harmoniques sont les vecteurs de plus haut poids dans cette représentation.

En d’autres termes, E, F, H vérifient les relations

[E, F] = H & [H, F] = 2F & [H, E] = −2E ,

et les polynômes harmoniques sont les polynômes annulés par E.

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Structure multiplicative

Le produit de deux polynômes harmoniques a en général perdu cette faculté. Néanmoins, comme l’espace ℍ s’identifie au quotient de Pol par l’idéal engendré par r^{2} : ℍ →^{∼} Pol/r^{2} Pol , on peut utiliser le morphisme ℘ pour retrouver une loi associative sur H :

(h, h′) ↦ ℘(hh′)

Plus généralement, tout polynôme f induit un morphisme

θ_{f} : ℍ ∋ h ↦ ℘(f h) := f ⋆ h ∈ ℍ .

Le cas le plus simple est celui où f est une indéterminée (disons x_{j} et notons θ_{j} := θ_{x_{j}}).

Lemme. La restriction de θ_{j} à l’espace ℍ_{k} est

θ_{j} := x_{j} − \frac{1}{n + 2k − 2} r^{2} ∂_{x_{j}} .  (4)

Preuve. Résulte de (3).

Faisant disparaître le degré, on peut écrire que

θ̃_{j} := x_{j}∇ r^{2} − 2x_{j} − r^{2} ∂_{x_{j}}  (5)

préserve l’espace ℍ.

Ce n’est pas le commutateur de ∂_{x_{j}} et θ_{j} qui est simple, mais plutôt :

Lemme. Pour tout j : 1 ≤ j ≤ n, la restriction de θ_{j} à ℍ_{k} satisfait

∂_{x_{j}} θ_{j} − \frac{n + 2k − 4}{n + 2k − 2} θ_{j} ∂_{x_{j}} = 1 .  (6)

Bien entendu, on itère θ_{j}, et l’on désire l’expression explicite des puissances de θ_{j} en fonction des puissances de r^{2} et ∂_{x_{j}}. C’est ici que l’on voit apparaître des polynômes dont nous rappelons la définition. Définition. Etant donnés deux paramètres α, p et une indéterminée x, les polynômes de Gegenbauer G(k, α, x, p), k ∈ ℕ, sont définis par la fonction génératrice

(1 − 2zx + pz^{2})^{−α} = ∑_{k} z^{k} G(k, α, x, p) .  (7)

Les polynômes de Gegenbauer normalisés G̃(k, α, x, p) sont les polynômes unitaires correspondants. Les polynômes classiques sont les spécialisations G(k, α, x, 1).

De la fonction génératrice (7) on tire la valeur des deux dérivées :

\frac{d}{dx}G̃(k, α, x, p) = kG̃(k − 1, α + 1, x, p) ,  (8)

\frac{d}{dp}G̃(k, α, x, p) = −\frac{k(k − 1)}{4(α + k − 1)}G̃(k − 2, α + 1, x, p) .  (9)

Vilenkin [Vi], [V-K] se sert des polynômes de Gegenbauer comme constituants élémentaires des polynômes harmoniques. On vérifie en effet la nullité de ∇((1 − 2zx_{j} + z^{2}ψ_{2})^{−n/2+1}), ce qui veut dire que les polynômes G(k, n/2−1, x_{j}, ψ_{2}), pour tous k, 1 ≤ j ≤ n, sont harmoniques. Vilenkin décrit une base de ℍ constitutée de produits de polynômes de Gegenbauer. Nous préférons montrer, par la proposition suivante (dont la démonstration est une simple vérification) que ces polynômes apparaissent dans l’itération de (4). Fixons j, écrivons x, θ, D pour x_{j}, θ_{j}, ∂_{x_{j}}, et ψ pour r^{2}. Pour un choix de n, k, écrivons aussi [i] := n + 2k − 4 + 2i, G̃(m) := G̃(m, n/2 − 1 + k, x, ψ).

Proposition. Soit m ∈ ℕ. Alors la restriction de θ^{m} à l’espace H_{k} décompose en

θ^{m} = G̃(m)−\frac{\binom{m}{1}ψ}{[m]} G̃(m−1) D+\frac{\binom{m}{2}ψ^{2}}{[m − 1][m]}G̃(m−2) D^{2}−⋯+\frac{(−ψ)^{m}}{[1] ⋯ [m]}G̃(0)D^{m}

(10)

Par exemple,

θ^{4} = G̃(4) − \frac{4ψ G̃(3)}{n + 2k + 4} D + \frac{6ψ^{2} G̃(2)}{(n + 2k + 2)(n + 2k + 4)} D^{2}−

\frac{4ψ^{3} G̃(1)}{(n + 2k)(n + 2k + 2)(n + 2k + 4)} D^{3}+\frac{ψ^{4}}{(n + 2k − 2)(n + 2k)(n + 2k + 2)(n + 2k + 4)}D^{4}

avec

G̃(4) = x^{4}−\frac{6ψ x^{2}}{2k + 4 + n}+\frac{3ψ^{2}}{(2k + 4 + n)(2k + 2 + n)} , G̃(3) = x^{3}−\frac{3ψ x}{2k + 2 + n}

G̃(2) = x^{2} − \frac{ψ}{n+2k}, G̃(1) = x.

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Polynômes harmoniques comme module sur 𝔖𝔶𝔪^{⋄}

Nous avons seulement utilisé la multiplication par la deuxième somme de puissances r^{2}. Les autres ont leur rôle à jouer. Notons ψ_{k} la multiplication par la k-ième somme de puissance ∑ x^{k} (ψ_{0} = n est le cardinal de l’ensemble 𝕏 d’indétermineées). On pose de plus ψ_{k} = 0 pour k < 0).

Grâce à la formule de Leibniz pour la dérivée d’un produit, on vérifie aisément les relations de commutation suivantes (qui généralisent (1)) :

∇ ψ_{k} − ψ_{k} ∇ = k ∑ x^{k−1}∂_{x} + \frac{k(k − 1)}{2}ψ_{k−2}  (11)

Au paragraphe précédent, nous avons déformé la multiplication par un polynôme quelconque en une opérateur sur H, cet opérateur pouvant s’expliciter par itération de (4). Soit donc pour tout entier k,

Ψ_{k} : ℍ ∋ h ↦ ℘(ψ_{k} h) = ψ_{k} ⋆ h ∈ ℍ .

En fait la relation (1) implique que Ψ_{2} soit l’opérateur nul. Soit 𝔖𝔶𝔪 l’anneau engendré par ψ_{1}, ψ_{2}, …, ψ_{n} : il est isomorphe à l’anneau des polynômes symétriques. Soit de plus 𝔖𝔶𝔪^{+} l’idéal de Pol engendré par les polynômes symétriques sans terme constant. Notons 𝔖𝔶𝔪^{⋄} l’anneau engendré par Ψ_{1}, Ψ_{3}, …, Ψ_{n} (qui est isomorphe à l’anneau engendré par les sommes de puissance d’indices 1, 3, …, n. En mettant un ordre approprié sur les monômes, on peut vérifier que ℍ est un module libre sur 𝔖𝔶𝔪^{⋄}.

Nous allons voir un énoncé plus précis, en faisant appel aux polynômes harmoniques au sens utilisé en cohomologie des variétés de drapeaux (nous ajouterons l’adjectif fondamental pour éviter toute ambiguité).

Définition. Un polynôme harmonique fondamental est un polynôme annulé par tous les opérateurs différentiels en x_{1}, …, x_{n} symétriques.

Il est clair que le Vandermonde V := ∏_{i<j≤n}(x_{i} − x_{j}) est une harmonique fondamentale, de même que toutes ses dérivées. Pour un vecteur J = [j_{1}, …, j_{n}] ∈ ℕ^{n}, notons V_{J} = ∂_{x}^{J}(V) := ∂_{x_{1}}^{j_{1}} ⋯ ∂_{x_{n}}^{j_{n}} (V). Le vecteur ρ := [n−1, …, 1, 0] joue un rôle esentiel. On a alors ([Bo]) :

Proposition. Soit H l’espace vectoriel des harmoniques fondamentales en x_{1}, …, x_{n}. Alors H est de dimension n!, de base les V_{J}, J ≤ ρ.

Le morphisme H ↦ Pol/𝔖𝔶𝔪^{+} est un isomorphisme.

Les calculs dans le quotient Pol/𝔖𝔶𝔪^{+} font appel à la riche combinatoire des différences divisées et des polynômes de Schubert cf. [LS]). L’isomorphisme ci-dessus permet d’en déduire des relations dans H, en particulier de décomposer les harmoniques fondamentales dans les différentes bases naturelles (cf. [La]). On n’a en fait pas besoin de quotienter l’anneau des polynômes, les outils évoqués permettent de décrire Pol en tant que module sur 𝔖𝔶𝔪. Pour un polynôme f ∈ Pol notons f^{σ} son image par une permutation σ et en particulier, f^{ω} son image par ω := [n, …, 1].

Proposition. L’anneau Pol des polynômes en x_{1}, …, x_{n} est un module libre sur Sym, de base les polynômes de Schubert X_{σ} indicés par les permutations de 𝔖_{n}. La 𝔖𝔶𝔪-forme quadratique

Pol ∋ f, g ↦ (f, g) := ∑_{σ∈𝔖_{n}}(fg/V)^{σ} ∈ 𝔖𝔶𝔪

est non dégénérée.

La matrice des (X_{σ}, X_{ν}^{ω}) est une matrice de permutation.

La forme quadratique permet d’écrire facilement tout polynôme comme une somme de polynômes de Schubert, à coefficients dans 𝔖𝔶𝔪. Elle permet donc aussi de décomposer tout polynôme dans une base telle que la matrice de changement de base avec les polynômes de Schubert soit triangulaire.

Définissons, pour chaque σ ∈ 𝔖_{n}, le polynôme de Schubert harmonique X_{σ}^{h̄} comme le polynôme harmonique fondamental congru à X_{σ} modulo l’idéal 𝔖𝔶𝔪^{+}. Tout polynôme peut donc s’écrire de manière unique comme une somme de polynômes de Schubert harmoniques, à coefficients dans 𝔖𝔶𝔪.

Soit h = ∑_{σ∈𝔖_{n}} c_{σ} X_{σ}^{h̄} , c_{σ} ∈ 𝔖𝔶𝔪, un polynôme harmonique. Alors h coincide avec ∑ c_{σ} ⋆X_{σ}^{h̄}⋆1 modulo l’idéal engendré par ψ_{2}. Mais ∑ c_{σ} ⋆X_{σ}^{h̄} est harmonique, et l’ on a donc h = ∑ c_{σ} ⋆ X_{σ}^{h̄}. Cette décomposition explicite implique le théorème suivant :

Théorème. L’espace ℍ des polyômes harmoniques est un module libre sur 𝔖𝔶𝔪^{⋄} = ℂ[Ψ_{1}, Ψ_{3}, …, Ψ_{n}], de base les polynômes de Schubert harmoniques {X_{σ}^{h̄}, σ ∈ 𝔖_{n}}i, ou les classes ℘(X_{σ}) des polynômes de Schubert.

Pour 𝔖_{3}, on a les polynômes de Schubert suivants:

X_{123} = X_{123}^{h̄} = 1 , X_{213} = X_{213}^{h̄} = x_{1} , X_{132} = X_{132}^{h̄} = x_{1} + x_{2}

X_{312} = x_{1}^{2} , X_{312}^{h̄} = x_{1}^{2} − \frac{2ψ_{1}}{3} x_{1} + \frac{2ψ_{1}^{2}}{9} − \frac{ψ_{2}}{3}

X_{231} = x_{1}x_{2} , X_{231}^{h̄} = x_{1}x_{2} − \frac{ψ_{1}}{3} (x_{1} + x_{2}) + \frac{ψ_{1}^{2}}{18} + \frac{ψ_{2}}{6}

X_{321} = x_{1}^{2}x_{2}, X_{321}^{h̄} = x_{1}^{2}x_{2}−\frac{ψ_{1}}{3} x_{1}^{2}−\frac{2ψ_{1}}{3} x_{1}x_{2}+\frac{ψ_{2}}{3} x_{1}+\frac{ψ_{1}^{2} − ψ_{2}}{6} (x_{1}+x_{2})+\frac{ψ_{3} − ψ_{2}ψ_{1}}{6}

Par ailleurs, les ℘(X_{σ}) pour 𝔖_{3} coincident avec les X_{σ}, mis-à-part ℘(X_{312}) = x_{1}^{2} − ψ_{2}/3 et ℘(X_{321}) = x_{1}^{2}x_{2} − ψ_{2} x_{2}/5.

La structure décrite par le théorème est évidemment compatible avec l’action du groupe symétrique, ce qui fait que l’on peut décrire les multiplicités des représentations du groupe symétrique agissant sur ℍ.

Rappelons que les repésentations irréductibles S_{λ} de 𝔖_{n} sont en bijection avec les partitions λ de n, et que la multiplicité (graduée) de λ dans H est égale au polynôme de Kostka K_{λ,1^{n}}, qui peut s’écrire K_{λ,1^{n}} = q^{n(λ)}(1 − q) ⋯ (1 − q^{n})/ ∏ (1 − q^{ℓ( )}), produit sur toutes les longueurs d’équerre des boîtes du diagramme de λ (cf. [Ma]). On a donc :

Proposition. Soit λ une partition de n. Alors la multiplicité graduée ∑_{k} m(λ, ℍ_{k}) q^{k}, où m(λ, V) est la multiplicité de S_{λ} dans un 𝔖_{n}-espace V, est égale à

K_{λ,1^{n}}/(1 − q) (1 − q^{3}) ⋯ (1 − q^{n}) = \frac{1 − q^{2}}{∏ (1 − q^{ℓ( )})} .  (12)

Par exemple, il y a 5 representations irréductibles de 𝔖_{4}. La composante λ = [4] de ℍ a pour multiplicité

1/(1 − q)(1 − q^{3})(1 − q^{4}) ,

celle de λ = [3, 1] est

\frac{q + q^{2} + q^{3}}{(1 − q)(1 − q^{3})(1 − q^{4})} = q \frac{1 − q^{2}}{(1 − q)^{2}(1 − q^{2})(1 − q^{4})} = \frac{q}{(1 − q)^{2}(1 − q^{4})} .

Quant à λ = [2, 2] on obtient

\frac{q^{2} + q^{4}}{(1 − q)(1 − q^{3})(1 − q^{4})} = \frac{q^{2}}{(1 − q)(1 − q^{2})(1 − q^{3})}

et l’on complète par symétrie (=transposition des partitions) :

λ = [2, 1, 1] ↦ \frac{q^{3} + q^{4} + q^{5}}{(1 − q)(1 − q^{3})(1 − q^{4})} = \frac{q^{3}}{(1 − q)^{2}(1 − q^{4})}

λ = [1, 1, 1, 1] ↦ q^{6}/(1 − q)(1 − q^{3})(1 − q^{4}) .

Voici aussi l’expression explicite de la base harmonique des ℘(X_{σ}), σ ∈ 𝔖_{4}, dans la base Schubert (écrivant · pour 0 et ψ pour ψ_{2}). Les permutations indiçant les polynômes sont énumérées dans l’ordre [1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [2, 1, 3, 4], [1, 4, 2, 3], [1, 3, 4, 2], [3, 1, 2, 4], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 1, 4], [4, 1, 2, 3], [1, 4, 3, 2], [3, 1, 4, 2], [2, 4, 1, 3], [2, 3, 4, 1], [3, 2, 1, 4], [4, 1, 3, 2], [3, 4, 1, 2], [4, 2, 1, 3], [2, 4, 3, 1], [3, 2, 4, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 2, 3, 1], [3, 4, 2, 1], [4, 3, 2, 1]. On obtient facilement avec ACE [Ve] ces bases pour des ordres supérieurs.

\begin{matrix}1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ \frac{−ψ}{2} & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & \frac{−ψ}{3} & \frac{ψ}{6} & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ \frac{−ψ}{4} & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & \frac{ψ}{6} & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & \frac{ψ}{8} & · & · & · & · & \frac{ψ}{8} & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ \frac{−ψ}{4} & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & \frac{−ψ}{6} & · & · & · & · & \frac{ψ}{6} & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & \frac{−ψ}{6} & · & · & · & \frac{ψ}{6} & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & \frac{−ψ}{8} & · & · & · & \frac{ψ}{8} & · & · & · & · & \frac{−ψ}{8} & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · & · \\ \frac{ψ^{2}}{48} & · & · & · & \frac{−ψ}{8} & · & · & · & \frac{ψ}{8} & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · & · \\ · & \frac{ψ^{2}}{80} & \frac{−ψ^{2}}{80} & · & · & \frac{−ψ}{10} & · & · & · & \frac{ψ}{10} & \frac{ψ}{10} & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & \frac{−ψ}{2} & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · & \frac{−3ψ}{8} & · & · & · & · & \frac{3ψ}{8} & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · & · & \frac{−3ψ}{8} & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · & · & · & \frac{−3ψ}{10} & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & · & 1 & · & · \\ · & · & · & · & · & · & \frac{3ψ^{2}}{80} & · & · & · & \frac{−3ψ}{10} & · & · & · & \frac{3ψ}{10} & · & · & · & \frac{−ψ}{10} & · & · & · & 1 & · \\ · & · & · & · & · & · & · & \frac{ψ^{2}}{40} & \frac{−ψ^{2}}{40} & · & · & \frac{−ψ}{4} & \frac{−ψ^{2}}{40} & · & · & \frac{ψ}{4} & · & · & · & \frac{−ψ}{12} & \frac{ψ}{12} & · & · & 1 \end{matrix}

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Polynômes harmoniques symétriques

La composante 𝔖𝔶𝔪^{⋄} 1 est l’espace des polynômes harmoniques symétriques que l’on peut chercher à caractériser en tant que sous-espace de l’anneau des polynômes symétriques 𝔖𝔶𝔪 = ℂ[ψ_{1}, ψ_{2}, …, ψ_{n}].

Le Laplacien est un opérateur différentiel du second ordre, et sa restriction à 𝔖𝔶𝔪 est un opérateur différentiel du second ordre en les ψ_{i}, 1 ≤ i ≤ n. Son expression est déterminée par l’image de tous les ψ_{i} et tous les ψ_{i}ψ_{j}. Ecrivant D_{i} := i ∂_{ψ_{i}}, 1 ≤ i ≤ n, on obtient

Proposition. La restriction du Laplacien aux fonctions symétriques en n indéterminées est égale à

∇ := \frac{1}{2} ∑ ∂_{x}^{2} = \frac{1}{2} ∑_{1≤i≤n} ψ_{2i−2}D_{i}^{2}+ ∑_{1≤i<j≤n} ψ_{i+j−2}D_{i}D_{j}+ ∑_{2≤i≤n} \binom{i}{2}ψ_{i−2}D_{i}

(13)

On peut remarquer que, similairement, pour tout k ∈ ℤ,

∑ x^{k}∂_{x} = ψ_{k} D_{1} + ψ_{k+1} D_{2} + ψ_{k+2} D_{3} + ⋯,

où maintenant ψ_{k} désigne ∑ x^{k}, k ∈ ℤ. Ainsi ∑ ∂_{x} = ψ_{0}D_{1} + ψ_{1}D_{2} + ψ_{2}D_{3} + ⋯, Eul = ∑ x∂_{x} = ψ_{1}D_{1} + ψ_{2}D_{2} + ψ_{3}D_{3} + · · ·.

Comme chaque variable n’apparaît qu’en degré 1 dans les fonctions élémentaires Λ^{i} ( définies par la fonction génératrice ∑ z^{i}Λ^{i} := (1 + zx_{1}) ⋯ (1 + zx_{n})), le Laplacien exprimé en terme des dérivées D_{i}^{Λ} := \frac{d}{d_{Λ^{i}}} est tout aussi simple. En effet, la dérivée par rapport à x := x_{1} de Λ^{k} = Λ^{k}(x_{1}, …, x_{n}) est égale à Λ^{k−1}(x_{2}, …, x_{n}) = Λ^{k−1} − xΛ^{k−1} + x^{2}Λ^{k−1} + ⋯ + (−x)^{k−1}.

Par sommation sur x_{i}, on a donc que l’image de Λ^{i}Λ^{j} par le Laplacien est égale à

c_{i,j,n} := nΛ^{i−1}Λ^{j−1}−ψ_{1}(Λ^{i−2}Λ^{j−1}+Λ^{i−1}Λ^{j−2})+ψ_{2}(Λ^{i−3}Λ^{j−1}+Λ^{i−2}Λ^{j−2}+Λ^{i−1}Λ^{j−3})

+ ⋯ ± ψ_{i+j−2}(Λ^{0}Λ^{0}) .

On peut simplifier ces fonctions: ce sont des sommes à coefficients positifs de fonctions monomiales indicées par des partitions n’ayant que des parts 1 et 2. Je trouve, i ≤ j, l’expression suivante dans la base des fonctions élémentaires :

c_{i,j,n} = (n−j+1)Λ^{i−1}Λ^{j−1}− ∑_{1≤k≤i−1}(j−i−2+2k) Λ^{i−1−ki}Λ^{j−1+k} . (14)

Proposition. La restriction du Laplacien aux fonctions symétriques en n indéterminées est égale à

∇ := \frac{1}{2} ∑_{1≤i,j≤n} c_{i,j,n} D_{i}^{Λ} D_{j}^{Λ} .  (15)

Par exemple, pour n = 3, on a

∇ = \frac{3}{2}D_{1}^{Λ}D_{1}^{Λ} + 2Λ^{1} D_{1}^{Λ}D_{2}^{Λ} + Λ^{2}D_{1}^{Λ}D_{3}^{Λ} + (Λ^{1}Λ^{1} − Λ^{2}) D_{2}^{Λ}D_{2}^{Λ}+

+(Λ^{1}Λ^{2} − 3Λ^{3}) D_{2}^{Λ}D_{3}^{Λ} + \frac{1}{2}(Λ^{2}Λ^{2} − 2Λ^{1}Λ^{3})D_{3}^{Λ}D_{3}^{Λ}

Chacune des expressions (13) ou (15) permet un calcul direct de fonctions symétriques, exprimées soit dans la base ψ_{i}, soit dans la base Λ^{i}. Nous ne traiterons pas ici la combinatoire de la restriction du Laplacien aux fonction symétriques.

Par ailleurs, Dunkl [Du] a défini une déformation des dérivées ∂_{i} par des différences divisées, et par là même, une déformation du Laplacien et des polynômes harmoniques. Tous les résultats que nous avons donnés dans ce texte se transportent au paradigme Dunkélien, mais les expressions explicites sont plus compliquées.

’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o ’ ooo oo o

Références

[Bo] A. Borel. Cohomologie des espaces fibrés principaux, Annals of Math. 57 (1953) 115-207.

[Du] C.F. Dunkl. Hankel transforms associated to finite reflection groups, Contemp. Math. 138 (1992) 123-138.

[La] A. Lascoux. Cyclic permutations on words, tableaux and harmonic polynomials, Proc of Hyderabad Conference on Algebraic Groups, Manoj Prakashan, Madras (1991).

[LS] A. Lascoux & M.P. Schützenberger. Symmetry and Flag manifolds, in Invariant Theory, Springer L.N. 996 (1983) 118-144.

[Ma] I.G. Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Math. Mono. (1995).

[Ve] S. Veigneau. ACE, an algebraic environment for the computer algebra

system MAPLE, http://phalanstere.univ-mlv.fr/∼ace (1998).

Vi] N.J Vilenkin. Fonctions spéciales et théorie de la représentation des groupes, Dunod Paris. [V-K] N.J Vilenkin, A. Klimyk. Representations of Lie Groups and special functions, vol 2, Kluwer (1993).