%%  Harm_expo    Expose sur les polynomes harmoniques - Montreal dec 99
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{\bf POLYN\^OMES HARMONIQUES}

\medskip\centerline{ Alain Lascoux}

\bigskip  \Frise 
\eightpoint\noindent  R\'esum\'e.\quad 
Nous d\'ecrivons 
l'espace des polyn\^omes annul\'es par le Laplacien ${1\over 2}
\sum {d^2\over dx^2}$ en tant que repr\'esentation du groupe sym\'etrique.  

\smallskip\hfill{\it D\'ecembre 1999}
\smallskip \tenpoint 
\Frise 
\centerline{\bf Laplacien et multiplication par $r^2$}

\medskip
Soient  $n$ indetermin\'ees $x_1,\ldots, x_n$.
Le {\it Laplacien} est la demi-somme des carr\'es des d\'eriv\'ees partielles
$$ \nabla := {1\over 2}\sum \d_{x}^2 $$
Une fonction est {\it harmonique} ssi elle est annul\'ee par le Laplacien.

Le Laplacien v\'erifie des relations de commutation simples avec 
la multiplication par $r^2:=\sum x^2$. En effet~: 
$$\nabla\, r^2 - r^2\, \nabla = 2\sum x\d_x + n =
2\, Eul + n \eqno (1) $$
o\`u  $Eul$ est l' {\it op\'erateur d'Euler} $\sum x\d_x$. 

Soit $\H$ l'espace des polyn\^ omes harmoniques, $\H^k$ le sous-espace des
polyn\^ omes harmoniques homog\`enes de degr\'e $k$.

La relation (1) permet de d\'ecomposer l'espace $\Pol$ des polyn\^omes en
$x_1,\ldots,\, x_n$ :

\prop \sl L'espace des polyn\^omes d\'ecompose en une somme directe
$$ \Pol \simeq \H \oplus r^2 \H \oplus (r^2)^2 \H \oplus (r^2)^3
 \H \oplus \cdots \ .\eqno(2) $$
La restriction \`a la composante homog\`ene de degr\'e $k$ 
de la projection  $\wp: \Pol \mapsto \H$ induite par la d\'ecomposition est 
\'egale \`a
$$\wp = \sum_{i=0}^\infty { (-r^2)^i\over i! (n+2k-4)(n+2k-6)\cdots 
(n+2k-2-2i)}\, \nabla^i \ . \eqno(3) $$

\medskip \rm 
Ainsi, pour un polyn\^ome de degr\'e $k$, 
$f=h_0 + r^2 h_1$ implique que $h_0= f- {r^2\over (n+2k-4)} \nabla(f)$,
$h_1= {1\over n+2k-4}\, \nabla(f)$. 
Au cran suivant,  $f=h_0 + r^2 h_1+ (r^2)^2 h_2$ implique
$$h_0= f- {r^2\over n+2k-4}\, \nabla(f) +
{ (r^2)^2\over 2 (n+2k-4)(n+2k-6)}\,  \nabla^2(f)\ ,$$
$$h_1= {1\over  (n+2k-4)}\, \nabla(f) - {r^2\over (n+2k-6)(n+2k-8)}\,
\nabla^2(f)  \ , $$ 
$$ h_2=  {1\over 2 (n+2k-4)(n+2k-6)}\,  \nabla^2(f) \ .$$ 


\medskip
La proposition pr\'ec\'edente a une formulation en terme de repr\'esentation~:

\prop \sl  Les op\'erateurs $E:=\nabla$, $F:=r^2/2$, $H :=Eul + n/2$ 
repr\'esentent les g\'en\'erateurs de $Sl(2,\C)$. 
Les polyn\^omes harmoniques sont les vecteurs de plus haut poids dans
cette repr\'esentation.
 
\rm\smallskip
En d'autres termes, $E,F,H$ v\'erifient les relations 
$$[E,F]=H \quad  \&\quad  [H,F]= 2 F\quad \&\quad  [H,E]= -2 E \ , $$
et les polyn\^omes harmoniques sont les polyn\^omes annul\'es par $E$. 

\bigskip
\Frise 
\centerline{\bf Structure multiplicative}

\medskip
Le produit de deux polyn\^omes harmoniques a en g\'en\'eral perdu cette
facult\'e. N\'eanmoins, comme l'espace $\H$ s'identifie au
quotient de $\Pol$ par l'id\'eal engendr\'e par $r^2$ : 
$ \H \ { \buildrel \sim \over {\rightarrow}}\  \Pol / r^2\, \Pol$  , 
on peut utiliser le morphisme $\wp$ pour retrouver une
loi associative sur $H$ :
 $$(h,h') \mapsto \wp(hh') $$ 
Plus g\'en\'eralement,  tout polyn\^ome $f$ induit un morphisme 
$$ \theta_f : \  \H\ni h \mapsto \wp(f\, h):= f\star h\,  \in \H  \ .$$
Le cas le plus simple est celui o\`u $f$ est une ind\'etermin\'ee
(disons $x_j$ et notons $\theta_j:= \theta_{x_j}$). 

\lemme  \sl La restriction de $\theta_j$ \`a l'espace $\H_k$ est  
$$ \theta_j := x_j - {1\over n+2k-2}\, r^2 \, \d_{x_j} \ . \eqno (4)$$

\rm\preuve  R\'esulte de (3). 

Faisant dispara\^itre le degr\'e, on peut  \'ecrire que 
$$\widetilde{\theta_j}:=  x_j \nabla\, r^2 -2x_j - r^2\, \d_{x_j} \eqno(5) $$
pr\'eserve l'espace $\H$. 

Ce n'est pas le commutateur de $\d_{x_j}$ et $\theta_j$ qui est simple,
mais plut\^ot~:

\smallskip
\lemme Pour tout $j: 1\leq j\leq n$, la restriction de $\theta_j$ 
\`a $\H_k$ satisfait 
$$ \d_{x_j}\, \theta_j - {n+2k-4\over n+2k-2}\,  \theta_j\, \d_{x_j} = 1 \ .
\eqno (6)$$

\rm\smallskip

Bien entendu, on it\`ere $\theta_j$, et l'on d\'esire l'expression explicite
des puissances de $\theta_j$ en fonction des puissances de $r^2$ et 
$\d_{x_j}$. C'est ici que l'on voit appara\^itre des polyn\^omes dont nous
rappelons la d\'efinition.

\defi \sl Etant donn\'es deux param\`etres $\a, p$ et une ind\'etermin\'ee $x$,
les polyn\^omes de Gegenbauer $G(k,\a,x,p )$, $k\in \N$, 
sont d\'efinis par la fonction g\'en\'eratrice 
$$ (1- 2zx + pz^2)^{-\a} = \sum\nolimits_k z^k\, G(k,\a,x,p)\ . \eqno(7)$$
Les  polyn\^omes de Gegenbauer normalis\'es  $\G(k,\a,x,p)$
  sont les polyn\^omes unitaires correspondants. Les polyn\^omes classiques 
sont les sp\'ecialisations $G(k,\a,x,1)$. 

\rm
De la fonction g\'en\'eratrice (7) on tire la valeur des deux d\'eriv\'ees~:
$$ {d\over dx} \G(k,\a,x,p) = k \G(k-1,\a+1, x,p) \ ,\eqno (8) $$
$$ {d\over dp} \G(k,\a,x,p) = - {k(k-1)\over 4(\a +k-1)} \G(k-2,\a+1, x,p)
\ . \eqno (9) $$

Vilenkin [Vi], [V-K] se sert des polyn\^omes de Gegenbauer comme constituants
\'el\'ementaires des polyn\^omes harmoniques. On v\'erifie en effet
la nullit\'e de  $\nabla\Bigl( (1- 2zx_j + z^2 \psi_2)^{-n/2+1}\Bigr)$,
ce qui veut dire que les polyn\^omes $G(k, n/2-1,x_j,\psi_2)$, 
pour tous $k$, $1\leq j\leq n$, sont harmoniques.
Vilenkin d\'ecrit une base de $\H$ constitut\'ee de produits de polyn\^omes
de Gegenbauer. Nous pr\'ef\'erons montrer, par la proposition suivante
(dont la d\'emonstration est une simple v\'erification) 
 que ces polyn\^omes apparaissent dans l'it\'eration de (4).
Fixons $j$, \'ecrivons $x$, $\theta$, $D$ pour $x_j$,  $\theta_j$,
 $\d_{x_j}$, et $\psi$ pour $r^2$. 
Pour un choix de $n,k$, \'ecrivons aussi  $[i]:= n+2k-4+2i$,  $\G(m):= 
\G(m, n/2-1+k, x,\psi)$.

\prop \sl
Soit  $m\in \N$. Alors la restriction de  $\theta^m$ \`a l'espace $H_k$ 
d\'ecompose en 
$$ \theta^m =
\G(m) - { {m\choose 1} \psi \over [m]} \G(m-1)\, D
+ { {m\choose 2} \psi^2 \over [m-1][m]} \G(m-2)\, D^2 -\cdots
+ {(-\psi)^m \over [1]\cdots [m]} \G(0) D^m \eqno(10)$$

\rm \medskip
Par exemple,
$$\theta^4 = \G(4) -{4\psi\, \G(3)\over n+2k+4}\, D +
{6\psi^2\, \G(2)\over (n+2k+2) (n+2k+4)}\, D^2 - \kern 2cm$$
$$\kern -8mm {4\psi^3\, \G(1)\over (n+2k) (n+2k+2) (n+2k+4)}\, D^3 +
{\psi^4\over (n+2k-2)(n+2k) (n+2k+2) (n+2k+4)} D^4$$

\noindent 
avec $$\G(4)= x^{4}-{6\psi\, x^{2}\over 2k+4+n}+{3\psi^{2}\over
(2k+4+n)(2k+2+n)}\ , \   \G(3) =
x^{3}-{3\psi\, x\over 2k+2+n}$$
$\G(2)=x^{2}-{\psi\over n+2k}$, $\G(1)=x$.

\Frise  
\centerline{\bf Polyn\^omes harmoniques comme module
sur $\sym$}

\medskip
Nous avons seulement utilis\'e la multiplication par la deuxi\`eme somme de
puissances $r^2$. Les autres ont leur r\^ole \`a jouer.  Notons 
 $\psi_k$ la multiplication par 
la $k$-i\`eme somme de puissance $\sum x^k$ ($\psi_0=n$
est le cardinal de l'ensemble $\X$ d'ind\'etermine\'ees).
On pose de plus $\psi_k=0$ pour $k<0$).

Gr\^ace \`a la formule de Leibniz pour la d\'eriv\'ee d'un produit,
on v\'erifie ais\'ement les relations de commutation suivantes
(qui g\'en\'eralisent (1))~:

$$ \nabla\, \psi_k - \psi_k\, \nabla =
k\, \sum x^{k-1}\d_x + {k(k-1)\over 2} \psi_{k-2} \eqno(11) $$

Au paragraphe pr\'ec\'edent, 
nous avons d\'eform\'e la multiplication par un polyn\^ome quelconque
en une op\'erateur sur $H$, cet op\'erateur pouvant s'expliciter par
it\'eration de (4).  Soit donc pour tout entier $k$,  
$$\Psi_k : \H\ni h\  \mapsto  \wp( \psi_k\, h)= \psi_k\star h\, \in  \H\ \ . $$

En fait la relation (1) implique que $\Psi_2$ soit l'op\'erateur nul.
Soit $\Sym$ l'anneau engendr\'e par $\psi_1,\psi_2,\ldots, \psi_n$~: 
il est isomorphe \`a l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques.
Soit de plus $\Sym^+$ l'id\'eal de $\Pol$ engendr\'e par les polyn\^omes
sym\'etriques sans terme constant. 
Notons $\sym$ l'anneau engendr\'e par $\Psi_1,\, \Psi_3,\ldots, \Psi_n$ 
(qui est isomorphe \`a l'anneau engendr\'e par les sommes de puissance
d'indices $1,3,\ldots ,n$.  En mettant un ordre appropri\'e sur les mon\^omes,
on peut v\'erifier que $\H$ est un module libre sur $\sym$. 

Nous allons voir un \'enonc\'e plus pr\'ecis, en faisant appel aux polyn\^omes
harmoniques au sens utilis\'e en cohomologie des vari\'et\'es de drapeaux
(nous ajouterons l'adjectif {\it fondamental} pour \'eviter toute
ambiguit\'e).

\defi \sl Un polyn\^ome harmonique fondamental est un polyn\^ome annul\'e
par tous les op\'erateurs diff\'erentiels en $x_1,\ldots, x_n$  sym\'etriques.

\rm 

Il est clair que le Vandermonde $V:=\prod_{i<j\leq n} (x_i-x_j)$ est une
harmonique fondamentale, de m\^eme que toutes ses d\'eriv\'ees.  
Pour un vecteur $J =[j_1,\ldots, j_n]\, \in \N^n$, 
notons $V_J = \d_x^J(V) := \d_{x_1}^{j_1}\cdots \d_{x_n}^{j_n}\, (V)$.
Le vecteur $\rho:=[n\moins 1,\ldots,1,0]$ joue un r\^ole esentiel.
On a alors ([Bo])~:

\prop  \sl  Soit $\HH$ l'espace vectoriel des harmoniques fondamentales en
$x_1,\ldots,\, x_n$. Alors $\HH$ est de dimension $n!$, de base les
$V_J,\, J\leq \rho$.

Le morphisme  $\HH \mapsto \Pol/ \Sym^+$ est un isomorphisme.  

\rm\medskip
Les calculs dans le quotient $\Pol/ \Sym^+$ font appel \`a la
riche combinatoire des diff\'erences divis\'ees et des polyn\^omes de 
Schubert cf. [LS]). L'isomorphisme ci-dessus permet d'en d\'eduire des
relations dans $\HH$, en particulier de d\'ecomposer les
harmoniques fondamentales dans les diff\'erentes bases naturelles
(cf. [La]).  On n'a en fait pas besoin de quotienter l'anneau des
polyn\^omes,
les outils  \'evoqu\'es permettent de d\'ecrire $\Pol$ en tant que 
module sur $\Sym$. Pour un polyn\^ome $f\in \Pol$ notons $f^\ss$ son 
image par une permutation $\ss$ et en particulier, $f^\omega$ son
image par $\omega:=[n,\ldots,1]$.

\prop \sl  L'anneau $\Pol$ des polyn\^omes en $x_1,\ldots,\, x_n$ est un
module libre sur $Sym$, de base les polyn\^omes de Schubert $X_\ss$ 
indic\'es par
les permutations de $\S_n$.  La $\Sym$-forme quadratique 
$$\Pol \ni f,g\  \mapsto\ (f,\, g):=
 \sum_{\ss\in \S_n} ( fg/V)^\ss \,  \in \Sym$$
est non d\'eg\'en\'er\'ee. 

La matrice des $(X_\ss,\, X_\nu^\omega)$ est une matrice de permutation.

\rm\medskip
La forme quadratique permet d'\'ecrire facilement tout polyn\^ome 
comme une  somme de polyn\^omes de Schubert, \`a coefficients dans $\Sym$. 
Elle permet donc aussi de d\'ecomposer tout polyn\^ome dans une base 
telle que la matrice de changement de base avec les polyn\^omes de Schubert
soit triangulaire.

D\'efinissons, pour chaque $\ss\in \S_n$, le {\it polyn\^ome 
de Schubert harmonique} $X_\ss^\hbar$ comme le polyn\^ome harmonique
fondamental  congru \`a $X_\ss$ modulo l'id\'eal $\Sym^+$. 
Tout polyn\^ome peut donc s'\'ecrire de mani\`ere unique comme une 
somme de polyn\^omes de Schubert harmoniques, \`a coefficients dans $\Sym$.

Soit $h = \sum_{\ss\in \S_n} c_\ss\, X_\ss^\hbar$ , $c_\ss\in \Sym$,
un polyn\^ome harmonique. 
Alors $h$ coincide avec $\sum c_\ss\,\star X_\ss^\hbar\star 1$ 
 modulo l'id\'eal engendr\'e par $\psi_2$. Mais $\sum c_\ss\,\star
X_\ss^\hbar$ est harmonique, et l'
on a donc $h= \sum c_\ss\,\star X_\ss^\hbar$. 
Cette d\'ecomposition explicite implique le th\'eor\`eme suivant~:

\th \sl L'espace $\H$ des poly\^omes harmoniques est un module libre 
sur $\sym= \C[\Psi_1,\Psi_3,\ldots, \Psi_n]$, de base les polyn\^omes de
Schubert harmoniques $\{ X_\ss^\hbar,\, \ss\in\S_n \}$i, ou les
classes $\wp(X_\ss)$ des polyn\^omes de Schubert. 

\medskip\rm
Pour $\S_3$, on a les polyn\^omes de Schubert suivants:
$$ X_{123}= X_{123}^\hbar=1\ , \ X_{213}= X_{213}^\hbar=x_1 \ , \
X_{132}= X_{132}^\hbar= x_1+x_2 $$
$$ X_{312}= x_1^2\, ,\ X_{312}^\hbar=
x_{1}^{2} -{2\psi_{1}\over 3} x_{1}+{2\psi_{1}^{2}\over 9} 
-{\psi_{2}\over 3}  $$
$$ X_{231}= x_1x_2\, , \, X_{231}^\hbar= x_1x_2 -{ \psi_1\over 3}(x_1+x_2) 
+ {\psi_{1}^{2}\over 18} + {\psi_{2}\over 6} $$
$$ X_{321}= x_1^2x_2,\   X_{321}^\hbar= x_1^2x_2 
-{\psi_{1}\over 3} x_1^2 -{2\psi_{1}\over 3} x_1x_2 
+{\psi_2\over 3}x_1  + {\psi_{1}^{2}-\psi_{2}\over 6}(x_1+x_2) 
+ {\psi_{3}-\psi_{2}\psi_{1} \over 6} $$
Par ailleurs, les $\wp(X_\ss)$ pour $\S_3$ 
 coincident avec les $X_\ss$, mis-\`a-part
$\wp(X_{312})= x_1^2 - \psi_2/3$ et 
$\wp( X_{321})= x_1^2x_2 -\psi_2\, x_2/5$. 

\medskip
La structure d\'ecrite par le th\'eor\`eme
 est \'evidemment compatible avec l'action du
groupe sym\'etrique, ce qui fait que l'on peut d\'ecrire les multiplicit\'es
des repr\'esentations du groupe sym\'etrique agissant sur $\H$.

Rappelons que les rep\'esentations irr\'eductibles $S_\l$
 de $\S_n$ sont en bijection
avec les partitions $\l$ de $n$, et que la multiplicit\'e (gradu\'ee) de $\l$ 
dans $\HH$ est \'egale au {\it polyn\^ome de Kostka} $K_{\l,1^n}$,
qui peut s'\'ecrire $K_{\l,1^n}= q^{n(\l)}
  (1-q)\cdots (1-q^n)/\prod_{\, \carre}\,  (1-q^{\ell(\carre\, )})$,
produit sur toutes les longueurs d'\'equerre des bo\^ites $\carre$ 
du diagramme de $\l$
(cf. [Ma]).  On a donc~: 

\prop \sl Soit $\l$ une partition de $n$. Alors la multiplicit\'e gradu\'ee
$\sum_k m(\l,\, \H_k)\, q^k$, o\`u $m(\l,V)$ est la multiplicit\'e
de $S_\l$ dans un  $\S_n$-espace $V$, est \'egale \`a
$$ K_{\l,1^n}/(1-q)\, (1-q^3)\cdots (1-q^n)
= { 1-q^2\over \prod_{\, \carre}\, (1-q^{\ell(\carre\, )}) }  \ . \eqno(12)$$

\medskip\rm
Par exemple, il y a 5 representations irr\'eductibles de
$\S_4$.  
La composante $\l=[4]$ de $\H$ a pour multiplicit\'e
$$ 1/(1-q)(1-q^3)(1-q^4) \ , $$
celle de $\l=[3,1]$  est
$$ { q+q^2+q^3\over (1-q)(1-q^3)(1-q^4)} =q {1-q^2\over (1-q)^2(1-q^2)(1-q^4)}
=
 {q\over (1-q)^2(1-q^4)}\ . $$
Quant \`a 
$\l=[2,2]$ on obtient 
$$ { q^2+q^4\over (1-q)(1-q^3)(1-q^4)} =
    {q^2\over (1-q)(1-q^2)(1-q^3)} $$
et l'on compl\`ete par sym\'etrie (=transposition des partitions)~:
$$\l=[2,1,1]\ \mapsto \ 
 { q^3+q^4+q^5\over (1-q)(1-q^3)(1-q^4)} =
{q^3\over (1-q)^2(1-q^4)} $$
$$\l=[1,1,1,1]\ \mapsto \
 q^6/(1-q)(1-q^3)(1-q^4)\ . $$

Voici aussi l'expression explicite de la base harmonique des 
 $\wp(X_\ss)$, $\ss\in \S_4$, dans la base Schubert 
 (\'ecrivant $\cdot$ pour 0 et
$\psi$ pour $\psi_2$). Les permutations indi\c cant les polyn\^omes sont
\'enum\'er\'ees dans l'ordre
$[1,2,3,4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [2, 1, 3, 4], [1, 4, 2, 3], [1
, 3, 4, 2], [3, 1, 2, 4], [2, 1, 4, 3]$, 
$[2, 3, 1, 4], [4, 1, 2, 3], 
[1, 4, 3, 2 ], [3, 1, 4, 2], [2, 4, 1, 3], [2, 3, 4, 1], [3, 2, 1, 4], 
[4, 1, 3, 2]$, 
$[3, 4, 1, 2], [4, 2, 1, 3], [2, 4, 3, 1], [3, 2, 4, 1], 
[4, 3, 1, 2], [4, 2, 3, 1], [3, 4, 2, 1], [4, 3, 2, 1]$. 
On obtient facilement avec {\pc ACE} [Ve] ces bases pour 
des ordres sup\'erieurs.

$$\petitematrice{
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot &\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr
\cdot &\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
{-\psi\over 2}&\cdot&\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot& {-\psi\over 3}& 
{\psi\over 6}&\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
{-\psi\over 4}&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot &\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
\cdot &\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&
\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot& 
{\psi\over 6} &\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
\cdot &\cdot&\cdot& 
{\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{\psi\over 8}&\cdot&\cdot& 1&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
{-\psi\over 4}&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
\cdot& {-\psi\over 6}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{\psi\over 6}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot&\cdot&
{-\psi\over 6}&\cdot& 
\cdot&\cdot& {\psi\over 6}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot &\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{\psi\over 8} &\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot& {-\psi\over 8}&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 
{\psi^{2}\over 48}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot& 
{ \psi^{2}\over 80}& {-\psi^{2}\over 80}&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 10}&\cdot&\cdot& 
\cdot& {\psi\over 10}& {\psi\over 10}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot 
%%%%
\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 2}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
& {-3\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{3\psi\over 8}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 1
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-3\psi\over 8}&\cdot& 
\cdot &\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
1&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-3\psi\over 10}&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot
& 1&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{3\psi^{2}\over 80}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-3\psi\over 10}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{3\psi\over 10}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 10} &\cdot&\cdot&\cdot& 1&\cdot
\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot& 
{\psi^{2}\over 40} & 
{-\psi^{2}\over 40}&\cdot&\cdot& {-\psi\over 4}& 
{-\psi^{2}\over 40}&\cdot& 
\cdot & {\psi\over 4}&\cdot&\cdot&\cdot& 
{-\psi\over 12}& {\psi\over 12} &\cdot&\cdot& 
1}$$

\Frise
\centerline{\bf Polyn\^omes harmoniques sym\'etriques}

\medskip
La composante $\sym\, {\bf 1}$ est l'espace des polyn\^omes harmoniques
sym\'etriques que l'on peut chercher \`a caract\'eriser en tant que
sous-espace de l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques
$\Sym= \C[\psi_1,\psi_2,\ldots,\psi_n]$.

Le Laplacien est un op\'erateur diff\'erentiel du second ordre, et sa
restriction \`a $\Sym$ est un op\'erateur diff\'erentiel du second ordre en
les $\psi_i$, $1\leq i\leq n$.
Son expression est d\'etermin\'ee par l'image de tous les $\psi_i$
et tous les  $\psi_i\psi_j$.  
Ecrivant  $D_i:= i\, \d_{\psi_i}$, $1 \leq i\leq n$,
on obtient 

\prop \sl La restriction du Laplacien aux fonctions sym\'etriques 
en $n$ ind\'etermin\'ees est \'egale \`a 
$$\nabla :={1\over 2}\sum\d_x^2 = {1\over 2}\sum_{1\leq i\leq n} \psi_{2i-2}
  D_i^2 + \sum_{1\leq i<j\leq n} \psi_{i+j-2} D_iD_j +
\sum_{2\leq i\leq n} {i\choose 2} \psi_{i-2} D_i \eqno (13)$$

\rm \smallskip
On peut remarquer que, similairement,  pour tout $k\in \Z$,
$$ \sum x^k \d_x = \psi_{k}\, D_1 + \psi_{k+1}\, D_2 + \psi_{k+2}\, D_3
 + \cdots  \ ,$$
o\`u maintenant  $\psi_k$ d\'esigne  $\sum x^k$, $k\in \Z$.
Ainsi $\sum \d_x = \psi_0 D_1 +\psi_1 D_2 + \psi_2 D_3+\cdots$, 
$Eul= \sum x\d_x = \psi_1 D_1 +\psi_2 D_2 + \psi_3 D_3+\cdots$.

Comme chaque variable n'appara\^it qu'en degr\'e 1 dans les fonctions
\'el\'ementaires $\L^i$ $\bigl($ d\'efinies par la fonction g\'en\'eratrice
$\sum z^i\L^i :=(1+zx_1)\cdots (1+zx_n)\bigr)$,
 le Laplacien exprim\'e en terme des d\'eriv\'ees
$D^\L_i:= {d \over d_{\L^i}}$ est tout aussi simple.
En effet, la d\'eriv\'ee par rapport \`a $x:=x_1$ de 
$\L^k= \L^k(x_1,\ldots, x_n)$ 
est \'egale \`a $\L^{k-1}(x_2,\ldots, x_n) =\L^{k-1}-x \L^{k-1} +x^2\L^{k-1}
+\cdots + (-x)^{k-1}$.

Par sommation sur $x_i$, on a donc que l'image de $\L^i \L^j$ 
par le Laplacien est \'egale \`a
$$ c_{i,j,n} := n \L^{i-1} \L^{j-1} -
\psi_1(\L^{i-2} \L^{j-1}+\L^{i-1} \L^{j-2}) +\psi_2
(\L^{i-3} \L^{j-1} +\L^{i-2} \L^{j-2}+\L^{i-1} \L^{j-3})$$
$$ +\cdots \pm \psi_{i+j-2} (\L^0\L^0) \ .$$
On peut simplifier ces fonctions: ce sont des sommes \`a coefficients positifs 
de fonctions monomiales indic\'ees par des partitions n'ayant que des parts 
1 et 2. Je trouve, $i\leq j$, l'expression suivante dans la base
des fonctions \'el\'ementaires~:
$$ c_{i,j,n} = (n-j+1)\L^{i-1} \L^{j-1} -
\sum_{1\leq k\leq i-1} (j-i-2+2k)\, \L^{i-1-ki} \L^{j-1+k} \ . \eqno(14)$$

\prop \sl La restriction du Laplacien aux fonctions sym\'etriques
en $n$ ind\'etermin\'ees est \'egale \`a
$$\nabla := {1\over 2}
         \sum_{1\leq i, j\leq n}\, c_{i,j,n}\, D^\L_i\, D^\L_j \ . \eqno(15)$$

\rm
\smallskip
Par exemple, pour $n=3$, on a 
$$\nabla= {3\over 2} D_1^\L D_1^\L +2\L^1\, D_1^\L D_2^\L+ \L^2 D_1^\L D_3^\L
+(\L^1\L^1-\L^2)\, D_2^\L D_2^\L +$$
$$+ (\L^1\L^2-3\L^3)\, D_2^\L D_3^\L 
+{1\over 2}( \L^2\L^2 -2\L^1\L^3)D_3^\L D_3^\L $$

\smallskip Chacune des expressions (13) ou (15) permet un calcul direct 
de fonctions sym\'etriques, exprim\'ees soit dans la base $\psi_i$,
soit dans la base $\L^i$. Nous ne traiterons pas ici la combinatoire 
de la restriction du Laplacien aux fonction sym\'etriques. 

Par ailleurs, Dunkl [Du] a d\'efini une d\'eformation des d\'eriv\'ees $\d_i$
par des diff\'erences divis\'ees, et par l\`a m\^eme, une d\'eformation 
du Laplacien et des polyn\^omes harmoniques. Tous les r\'esultats que nous
avons donn\'es dans ce texte se transportent au paradigme 
Dunk\'elien, mais les expressions explicites
sont plus compliqu\'ees.

\bigskip
\Frise 
\centerline{\bf R\'ef\'erences} 
\parindent 0mm

\smallskip

[Bo]\ A. Borel.\ Cohomologie des espaces fibr\'es principaux,
Annals of Math. {\bf 57} (1953) 115-207.

[Du]\ C.F. Dunkl.\ Hankel transforms associated to finite reflection
groups, Contemp. Math. {\bf 138} (1992) 123-138.

[La]\ A. Lascoux.\  Cyclic permutations on words, tableaux and
harmonic polynomials, Proc of Hyderabad Conference on Algebraic Groups, 
Manoj Prakashan, Madras (1991).

[LS]\ A. Lascoux \& M.P. Sch\"utzenberger.\  
 Symmetry and Flag manifolds,
\it in Invariant Theory, Springer L.N. \bf 996 \rm(1983) 118-144.

[Ma]\ I.G. Macdonald.\ Symmetric functions and Hall polynomials,
Oxford Math. Mono. (1995).

[Ve]\  S. Veigneau.  {\it ACE, an algebraic environment for the computer
algebra system MAPLE},
{\tt http://phalanstere.univ-mlv.fr/$\sim$ace} (1998).

Vi]\ N.J Vilenkin.\ Fonctions sp\'eciales et th\'eorie de la
repr\'esentation des groupes, Dunod Paris.

[V-K]\ N.J Vilenkin, A. Klimyk.\ Representations of Lie Groups and special
functions, vol 2, Kluwer (1993).



\bye

