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\def\puce{\smallbreak\hskip 6pt{$\scriptstyle\bullet$}\kern 5pt}

\def\boxit#1#2{%
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\def\square#1{\hbox{\vrule width \thickness
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   \vss\hrule height\thickness} 
\unskip\vrule width \thickness} 
\kern-\thickness}                                                            
                               
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\def\blank{\omit\hskip\squaresize}

\def\young#1{
\vbox{\smallskip\offinterlineskip
\halign{&\vsquare{##}\cr #1}}}


\newdimen\unit
\def\o{$\scriptscriptstyle{{\rm o}}$}
\def\put(#1,#2)#3{\raise#2\unit\rlap{\kern#1\unit #3}\ignorespaces}

\def\g{{\unit=1mm
\hbox {\put(2,1.2){'} 
       \put(1,2)\o
       \put(2,2)\o 
       \put(3,2)\o  
       \put(1.5,1)\o
       \put(2.5,1)\o
       \put(2,0)\o\
}\kern 3.5 \unit}}

\def\gfill{\leaders\hbox to 1.2em{\hss\g\hss}\hfill}


\def\tab#1|#2|{ {}_{#2}^{#1} }   % petits tableaux Young 2 lignes

\def\ttab#1|#2|#3|#4|{%                     % petits tableaux Young 4 lignes
\vbox{\hbox{$\tab#1|#2|$} \hbox{$\tab#3|#4|$} } }


\vglue 2mm

\centerline{\hbox to 10cm{\gfill} }

\vskip  8mm

\centerline{\bf Polyn\^omes de Schubert}
\centerline{\it Une approche historique}

\vskip 4mm

\centerline{Alain Lascoux}

\vskip 5mm
\centerline{\hbox to 5cm{\gfill} }

\vskip 1cm

\it (Le \rm nous \it parsemant ce texte n'a pour fonction que de 
t\'emoigner que tous mes travaux concernant 
les polyn\^omes de Schubert sont le fruit d'une collaboration avec 
M.P.Sch\"utzenberger)\rm


\vskip 3mm

Du temps de Newton, la meilleure mani\`ere de contr\^oler une fonction d'une 
variable, que ce soit le taux de change Livre/\'ecu ou la course d'une 
plan\`ete, \'etait  la technique remontant aux babyloniens 
de noter suffisamment de ses valeurs \`a intervalles de temps 
r\'eguliers. Par diff\'erences successives, on simplifie usuellement la 
fonction consid\'er\'ee. Dans le cas particulier d'un polyn\^ome par exemple, on 
aboutit \`a la fonction nulle.

Le respect de la semaine anglaise introduisant des perturbations dans la 
r\'egularit\'e journali\`ere des observations, Newton proposa dans les Principia
[N] le rem\`ede de normaliser les diff\'erences par l'intervalle de temps 
auxquelles elles correspondent :
$$\matrix{f(a) && f(b) && f(c) && f(d) \cr
& {f(a)-f(b)\over (a-b)} &&{f(b)-f(c)\over (b-c)} 
&&{f(c)-f(d)\over (c-d)  } \cr
&& { {f(a)-f(b\over a-b} - {f(b)-f(c)\over b-c} \over a-c} && 
{{f(b)-f(c)\over b-c} - {f(c)-f(d)\over c-d}  \over b-d } \cr 
}$$




 En termes plus alg\'ebriques, \'etant donn\'ee 
une fonction de plusieurs variables $g(a,b,\ldots)$, la diff\'erence divis\'ee 
de $g$ par rapport \`a la paire de variables $b,c$ est la fonction 

$$\partial_{bc}(g) := \big( g(a,b,c,d, \ldots) - g(a,c,b,d, \ldots)\big) / (b-c)\ , $$
les fonctions d une variable $a $ \'etant, comme l'avait d\'ej\`a remarqu\'e Newton, 
des fonctions de plusieurs variables de degr\'e nul en $b,c\ldots$
 
La th\'eorie des diff\'erences divis\'ees \'etait,
 jusqu'\`a tr\`es r\'ecemment, r\'efugi\'ee dans 
les livres d'analyse num\'erique.

Si l'on me permet une incidente, c'est d'ailleurs dans [MT] que je l'y 
rencontrai pour la premi\`ere fois et vis qu' elle \'etait un outil
 commode pour 
l'\'etude des fonctions de Schur drapeaux. En effet, les images des fonctions 
compl\`etes en $\{a,b,c \}$ par rapport \`a la diff\'erence divis\'ee
 $\partial_{cd}$ 
sont tr\`es exactement les fonctions compl\`etes en $\{a,b,c,d \}$. Cela 
permet la manipulation des d\'eterminants en les fonctions compl\`etes par 
induction sur la taille des alphabets.

Revenons au cours historique principal. Aucun \'ev\`enement notable en Europe 
jusqu'en 1800, o\`u Rothe [Ro]  d\'efinit le diagramme d'une permutation, qui 
exhibe 
la matrice repr\'esentant une permutation en m\^eme temps que ses inversions. 
Chaque inversion : $i<j , \mu_i >\mu_j$
 (i.e. paires de 1  en  position relative 
$\matrix{1\cr 0 &1\cr}$ , cr\'ee une grappe 
en colonne $j$ et ligne $i$ : 
   
$$\matrix{1\cr 0 &1\cr}  \longrightarrow  \matrix{1\cr \g &1\cr}    $$

Par exemple, la permutation  $\mu = 764198532 $ est repr\'esent\'ee par la 
matrice   

$$\matrix { 
 $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  \cr
 $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $0$  &  $1$  &  $0$  &  $0$  &  \cr
 }$$

et son diagramme de Rothe est (en gardant les 1 pour plus de clart\'e) :

 \smallskip

$$\matrix { 
 & -  & 1 & - & - & - & - & - & - & - \cr
 & - & \g  & 1 & - & - & - & - &-  & - \cr
 & - &\g  & \g & -  & 1 & - & - & - & - \cr
 & - & \g & \g & - & \g & - & - &1  & - \cr
 & - & \g  & \g & - & \g  &- &- & \g  &1  \cr
   & 1 & - &-  & - & - & - & - & - & - \cr
 & \g &\g  & \g  & 1 & - &  -& - & - & - \cr
 & \g & \g &\g  & \g & \g  & 1 & - & - & - \cr
 & \g &\g  &\g  &\g  & \g & \g & 1 & - & - \cr }$$ 



On peut aussi lire sur ce diagramme une d\'ecomposition de la permutation en 
un produit de transpositions simples, en num\'erotant dans chaque 
ligne les grappes par des entiers cons\'ecutifs, 
 et en commen\c{c}ant par le num\'ero de la ligne:

$$\matrix { 
 & -  & - & - & - & - & - & - & - & - \cr
 & - & 8  & - & - & - & - & - &-  & - \cr
 & - &7  & 8 & -  & - & - & - & - & - \cr
 & - & 6 & 7 & - & 8 & - & - &-  & - \cr
 & - & 5  & 6 & - &  7 &- &- & 8  &-  \cr
   & - & - &-  & - & - & - & - & - & - \cr
 & 3 &4  & 5  & - & - &  -& - & - & - \cr
 & 2 & 3 &4  & 5 & 6  & - & - & - & - \cr
 & 1 &2  &3  &4  & 5 & 6 & - & - & - \cr }$$ 

Lisant \`a la mode occidentale de gauche \`a droite, puis de haut en bas,
on obtient le mot $ 8 \ 78 \ 678 \ 5678 \ 345 \ 23456 \ 123456 $
qui est une d\'ecomposition r\'eduite de $\mu^{-1}$ lorsque l'on interpr\`ete
chaque entier  $i$ comme la transposition simple  
$\sigma_i$ .

Nouvelle interruption de l'histoire jusqu'en 1973 o\`u Bernstein, Gelfand \& 
Gelfand [B-G-G] et Demazure [D1] publient simultan\'ement deux articles 
importants ; ils 
montrent entre autres que les diff\'erences divis\'ees satisfont aux relations 
de Coxeter. En d'autres termes, pour chaque permutation $\mu$, il existe une 
diff\'erence divis\'ee $\partial_\mu$, le cas de Newton correspondant aux 
transpositions simples. [B-G-G] et [D1] utilisent ces op\'erateurs pour 
d\'efinir une base lin\'eaire de l'anneau de cohomologie de la vari\'et\'e de 
drapeaux, c'est-\`a-dire du quotient ${\cal{H}}(A)$ de l'anneau des polyn\^omes 
$Z[a_1,\ldots, a_n] $ par
l'id\'eal engendr\'e par les fonctions sym\'etriques sans terme constant. En 
degr\'e maximum ${n \choose 2}$ ${\cal{H}}(A)$ est de dimension 1. 
 [B-G-G] et [D1] prouvent que les images par diff\'erences divis\'ees de tout 
\'el\'ement non nul de degr\'e maximal forment une base lin\'eaire de 
${\cal{H}}(A)$. La classe canonique de d\'epart choisie par  [B-G-G] et [D1] est le 
Vandermonde $\Delta(A) := \prod_{i<j} (a_i - a_j)$     ({\it cf.} plus bas  
pour un exemple). 

M.P. Sch\"utzenberger et moi m\^eme \'etions \`a la recherche d'un outil 
permettant l'\'etude des deux ordres sur le groupe sym\'etrique, en particulier 
pour calculer les polyn\^omes de Kahzdan \& Lusztig ({\it cf.}[L\&S1]). 
 [B-G-G] et [D1] nous apport\`erent la r\'ev\'elation que les ar\^etes de 
l'hexagone doivent \^etre interpr\'et\'ees comme les diff\'erences divis\'ees 
$\partial_{ab}$ et $\partial_{bc}$. Mais plut\^ot que de faire agir cet hexagone sur le 
Vandermonde $(a-b)(a-c)(b-c)$, nous avons pris le polyn\^ome le plus simple 
sans sym\'etries, qui se trouve \^etre le mon\^ome $a^2 b^1 c^0$. Plus 
g\'en\'eralement, les {\it Polyn\^omes de Schubert} sont d\'efinis comme les images 
par les diff\'erences divis\'ees du mon\^ome 
$$a_1^{n-1} a_2^{n-2}\cdots a_n^0  \ .$$
Il sont indic\'es par les permutations, puisque les diff\'erences divis\'ees le 
sont, et contiennent comme sous-famille les  fonctions de Schur. Par 
exemple, la fonction de Schur 
$$a^3b + a^2b^2 + ab^3$$
 est \'egale au polyn\^ome 
de Schubert $X_{25134}$ qu'un lecteur averti distinguera du polyn\^ome 
correspondant

\  $12$ \ $cde^{2}$\  $+$  $12$ \ $cd^{2}e$\  $+$  $12$ \ $c^{2}de$\ 
   $-6$ \ $bde^{2}$\    $-6$ \ $bd^{2}e$\    $-6$ \ $bce^{2}$\ 
  $-36$ \ $bcde$\   $-6$ \ $bcd^{2}$\    $-6$ \ $bc^{2}e$\ 
  $-6$ \ $bc^{2}d$\  $+$  $6$ \ $b^{2}e^{2}$\ 
 $+$  $12$ \ $b^{2}de$\  $+$  $6$ \ $b^{2}d^{2}$\ 
 $+$  $12$ \ $b^{2}ce$\  $+$  $12$ \ $b^{2}cd$\  $+$  $6$ \ $b^{2}c^{2}$\ 
  $-6$ \ $b^{3}e$\    $-6$ \ $b^{3}d$\    $-6$ \ $b^{3}c$\ 
  $-6$ \ $ade^{2}$\   $-6$ \ $ad^{2}e$\   $-6$ \ $ace^{2}$\ 
  $-36$ \ $acde$\    $-6$ \ $acd^{2}$\    $-6$ \ $ac^{2}e$\ 
  $-6$ \ $ac^{2}d$\  $+$  $36$ \ $abde$\  $+$  $36$ \ $abce$\ 
 $+$  $36$ \ $abcd$\    $-18$ \ $ab^{2}e$\    $-18$ \ $ab^{2}d$\ 
  $-18$ \ $ab^{2}c$\  $+$  $18$ \ $ab^{3}$\  $+$  $6$ \ $a^{2}e^{2}$\ 
 $+$  $12$ \ $a^{2}de$\  $+$  $6$ \ $a^{2}d^{2}$\ 
 $+$  $12$ \ $a^{2}ce$\  $+$  $12$ \ $a^{2}cd$\  $+$  $6$ \ $a^{2}c^{2}$\ 
  $-18$ \ $a^{2}be$\    $-18$ \ $a^{2}bd$\    $-18$ \ $a^{2}bc$\ 
  $-6$ \ $a^{3}e$\    $-6$ \ $a^{3}d$\    $-6$ \ $a^{3}c$\ 
 $+$  $18$ \ $a^{3}b$\ \ 


\noindent
de  [B-G-G] et [D1], les deux polyn\^omes \'etant, \`a
un facteur pr\`es, congrus modulo l'id\'eal.

\smallskip
Le calcul alg\'ebrique sur les polyn\^omes de Schubert est pris en compte par 
la manipulation d'objets combinatoires (permutations, codes, diagrammes de 
Rothe \& Riguet, tableaux, Weintrauben, etc. ) ou par l'utilisation d'un 
produit scalaire et d'op\'erateurs auto-adjoints.

Cette combinatoire est tr\`es semblable  \`a, et m\^eme englobe, la combinatoire 
des fonctions de Schur ; les partitions doivent ainsi \^etre consid\'er\'ees 
comme des permutations sp\'eciales.

Pour illustrer ce propos, je me permets sans pudeur de  d\'etailler la 
premi\`ere note sur le sujet 
[L\&S2]. On y trouve 

\puce une formule de Pieri (i.e. un produit sans multiplicit\'e de polyn\^omes 
de Schubert)
\puce un produit scalaire pour lequel les polyn\^omes de Schubert sont 
auto-adjoints, la base adjointe des mon\^omes \'etant les produits de fonctions 
\'el\'ementaires sur des drapeaux d'alphabets 
\puce une caract\'erisation des permutations sp\'eciales (dites\it vexillaires\rm ) 
pour lesquelles les polyn\^omes de Schubert sont des fonctions de Schur 
drapeaux
\puce un pr\'eordre sur les permutations qui permet de d\'ecomposer un polyn\^ome 
de Schubert $X_\mu$ et en donne la partie sym\'etrique stable $F_\mu$ 
(qui peut \^etre consid\'er\'ee comme la limite de $X_\mu$ pour l'injection 
it\'er\'ee $S(n) \rightarrow S(1) \times S(n)$. Ce pr\'eordre fournit des arbres dont les 
sommets sont des permutations ; les cycles (classes ultimes) correspondent 
tr\`es exactement aux permutations vexillaires
\puce la remarque que l'on peut d\'eformer les diff\'erences divis\'ees de 
mani\`ere \`a obtenir une r\'ealisation concr\`ete, mais avec plus de param\`etres, 
de l'alg\`ebre de Hecke comme alg\`ebre d'op\'erateurs sur l'anneau des 
polyn\^omes, {\it cf.} [Ch]. Les cas d\'eg\'en\'er\'es dont les g\'en\'erateurs satisfont 
\`a $D^2 =0$ ou $D^2 = D$ sont les plus importants pour la g\'eom\'etrie et 
correspondent \`a l'anneau de cohomologie  ou de Grothendieck de la vari\'et\'e 
de drapeaux.


\vskip 3mm
Le {\it Comit\'e de Lecture} de l'Acad\'emie des Sciences nous pria de 
 sacrifier l'adjectif \break 
{\it vexillaire}, ainsi qu'un exemple de drapeaux associ\'es, 
sur l'autel de la clart\'e et de la qualit\'e internationale des 
{\it Comptes Rendus}. On trouvera les drapeaux manquants dans [Wa], le mot 
vexillaire ayant quant \`a lui \'et\'e r\'eintroduit, apr\`es la 
tr\`eve estivale, dans la note sui\-vante.

La formule la plus fondamentale que satisfasse les fonctions de Schur est 
la {\it formule de Cauchy} (dont une forme est la d\'ecomposition de la 
{\it R\'esultante} $\prod (a_i - \beta_j)$  de deux alphabets. Les polyn\^omes de 
Schubert v\'erifient eux aussi une formule de Cauchy [L1]. Plus g\'en\'eralement, 
on d\'efinit les polyn\^omes de Schubert doubles en prenant comme point de 
d\'epart la polarisation du Vandermonde $  X_\omega := \prod_{i+j\leq n} (a_i - \beta_j)$, 
les diff\'erences divis\'ees n'agissant que sur l'alphabet $A $ des lettres 
romaines. Alors tout polyn\^ome de Schubert double se d\'ecompose en une somme 
de produits de polyn\^omes de Schubert simples relatifs \`a chacun des 
alphabets $A$ et $B$ de m\^eme cardinal $n$.

De nombreuses formules peuvent en fait \^etre d\'eduites de la simple 
observation que $X_\omega$ s'annule pour toute sp\'ecialisation de $A$ en une 
permutation de $B$, sauf pour la sp\'ecialisation 
$a_1 \rightarrow \beta_n , a_2 \rightarrow \beta_{n-1}, \ldots a_n \rightarrow \beta_1$, auquel cas on obtient 
$\Delta(A)$   ( {\it cf.} [L\& S12]).     

L'anneau des polyn\^omes sym\'etriques est canoniquement muni d'une structure 
d'alg\`ebre de Hopf ( [Ze]) qui permet de couper l'alphabet en intervalles. La 
propri\'et\'e correspondante des polyn\^omes de Schubert est donn\'ee dans [L\& 
S4], o\`u l'on trouve aussi la d\'efinition des {\it polyn\^omes de Grothendieck} 
qui correspondent aux diff\'erences divis\'ees isobares :
$$ \pi_{ab}(f) :=  \big(af - bf^{\sigma_{ab}}\big)/(a-b)$$
au lieu des diff\'erences divis\'ees.

L'alg\`ebre des diff\'erences divis\'ees apparait naturellement 
en g\'eom\'etrie des
vari\'et\'es de drapeaux ([Ar], [B-G-G], [D3], [Ko-K], [A-L-P]).
Dans les cas symplectiques et orthogonaux, l'alg\`ebre des diff\'erences 
divis\'ees a permis \`a Pragacz et Ratajski de donner une preuve courte 
et transparente des formules de Pieri pour les grassmanniennes isotropes
[P-R]. 

 On retrouve par ailleurs 
les polyn\^omes de Schubert doubles comme coefficients de la matrice
 de changement 
de base : diff\'erences divis\'ees $\rightarrow $ \ permutations ou 
 son  inverse ([L\&S7], [L\&S12]).


A la m\^eme \'epoque, le professeur R. Stanley se penchait sur 
 les chemins dans le permutoedre
({\it d\'ecompositions r\'eduites}). On lui doit l'observation fondamentale
 que le nombre de d\'ecompositions r\'eduites d'une permutation est une
 somme de dimensions de repr\'esentations du groupe sym\'etrique. 
Plus pr\'ecis\'ement, il conjectura l'existence de certaines fonctions 
sym\'etriques ${F'}_\mu$ indic\'ees par 
les permutations. D\'ecomposant ces fonctions sym\'etriques dans la base des 
fonctions de Schur, on obtient les dimensions cherch\'ees. Cette conjecture me 
fut communiqu\'ee par Bj\"orner en septembre 82; les quelques exemples joints 
\'etaient suffisants pour montrer (la preuve est directe) que la fonction 
${F'}_\mu$ n'est autre que la partie sym\'etrique stable du polyn\^ome de Schubert 
$X_\mu$ mentionn\'ee plus haut. Restait \`a relier cette 
propri\'et\'e (d\'emontr\'ee par Stanley [St]) \`a la combinatoire des tableaux
associ\'es aux polyn\^omes de Schubert. 

En particulier, en rempla\c{c}ant les 
relations de Coxeter par les relations 
$$i(i+1)i   \cong (i+1) i (i+1)$$
$$ i<j<k \Rightarrow \  jik \cong jki   \quad \& ikj \cong kij $$
on obtient un monoide que nous avons appel\'e 
{\it monoide nilplaxique} en [L\& S4]; ce monoide est tr\`es semblable au 
{\it monoide plaxique} d\'efini par les relations \'el\'ementaires de Knuth,
 quoique il rel\`eve l'alg\`ebre du groupe sym\'etrique alors que
 le monoide plaxique permet 
d'\'etudier l'anneau des fonctions sym\'etriques. Dans 
les deux cas chaque classe 
d'\'equivalence contient un tableau et un seul qui est donn\'e par 
l'{\it algorithme de Schensted} ou le {\it jeu de taquin}, \`a
une variante pr\`es . Cette adaptation de 
l'algorithme de Schensted a aussi \'et\'e obtenue par Edelman et Greene [E-G]. 
Ces auteurs n\'eanmoins pr\'ef\`erent mettre l'accent sur d'autres objets
qu'ils avaient d\'ecouverts, \`a savoir  les 
{\it tableaux balanc\'es} qui d\'ecrivent l'ordre dans lequel une
 d\'ecomposition 
r\'eduite d'une permutation cr\'ee ses inversions. Ainsi, la d\'ecomposition 
$\sigma_2\sigma_1\sigma_3\sigma_2\sigma_1\sigma_3$ correspond au chemin 
$$1234 \rightarrow 1324 \rightarrow 3124 \rightarrow 3142 \rightarrow 3412 
\rightarrow 4312 \rightarrow 4321$$ 
et au tableau balanc\'e $\ttab|6|21|435|$. Edelman et Greene ont depuis 
\'etendu leur th\'eorie des tableaux balanc\'es \`a des diagrammes plus 
g\'en\'eraux que les diagrammes de Ferrers.

La combinatoire des d\'ecompositions r\'eduites a \'et\'e g\'en\'eralis\'ee
 aux groupes de Weyl par Kraskiewicz [Kr2], le cas des groupes 
 hyperoctah\'edraux se trouvant dans [Kr1] et [Ha].

\smallskip

Les diff\'erences divis\'ees diminuent le degr\'e, ce qui complique fortement 
leur rel\`evement \`a l'alg\`ebre libre, si l'on veut garder la compatibilit\'e avec les 
tableaux et la construction de Schensted. La solution est beaucoup plus simple 
dans le cas des diff\'erences isobares: en effet l'op\'erateur 
$\pi_{ab}$ d\'efini 
plus haut envoie $a^4b$ sur $a^4b + a^3b^2 +a^2b^3 +ab^4$, c'est-\`a-dire 
interpole entre le mon\^ome $a^k b^i , k\geq i$ et son image par la 
transposition $\sigma_{ab} $, qui est  $a^i b^k$. Comme on a une action
 du groupe sym\'etrique sur l'alg\`ebre libre, on peut ais\'ement \'etendre les diff\'erences 
divis\'ees $\pi_{ab} $, par interpolation, \`a l'alg\`ebre libre. Ces nouveaux 
op\'erateurs ne v\'erifient toutefois pas les relations de Coxeter [L\& S10].

Conservant les relations de compatibilit\'e entre polyn\^omes de Schubert et 
op\'erateurs $\pi_{ab}$, on obtient ainsi des sommes de tableaux qui rel\`event les 
polyn\^omes de Schubert, en prenant comme points de d\'epart tous les tableaux 
de {\it Yamanouchi} $\ttab\cdots | c\cdots c | b\cdots\cdots b |
a\cdots\cdots\cdots a |$,  dont les images commutatives sont les 
mon\^omes {\it dominants} $a^k b^j c^i\cdots$, $k\geq j\geq i\geq\cdots $.

Mais pour d\'ecrire pr\'ecis\'ement les tableaux dans le d\'eveloppement
 d'un polyn\^ome 
de Schubert $X_\mu$ non commutatif (en particulier, montrer que c'est une somme 
positive), on a besoin de faire intervenir les d\'ecompositions r\'eduites de 
$\mu$. Ainsi $\mu=25143 $ a deux d\'ecompositions r\'eduites qui sont des 
tableaux: 
$$\young{4\cr
2\cr 1&3&4\cr}  \qquad {\rm} \qquad \young{2&4\cr1&3&4 \cr} \ .$$

Le lien entre les deux types de tableaux peut \^etre donn\'e par une 
construction 
qui s'applique aussi bien au monoide plaxique que nilplaxique : elle consiste 
\`a faire agir un groupe sym\'etrique soit sur les lignes, soit sur
 les colonnes 
des tableaux. L'action des transpositions simples se d\'efinit comme la 
transformation d'un tableau \`a deux lignes (resp. deux colonnes) en un 
contretableau. Ainsi l'on a, gr\^ace au jeu de taquin,  


\setbox4=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7\cr \scriptstyle 5 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 1\cr }$}
\setbox5=\hbox{$\matrix{ \cr\cr \scriptstyle 6\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox6=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7 \cr \scriptstyle 5 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 1\cr }$}
\setbox7=\hbox{$\matrix{\cr \scriptstyle 6 \cr \cr 
\scriptstyle 2\cr }$}
\setbox8=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7 \cr \scriptstyle 5 \cr \cr
\scriptstyle 1\cr }$}
\setbox9=\hbox{$\matrix{\cr \scriptstyle 6 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox10=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7 \cr \scriptstyle 5 \cr 
\scriptstyle 1\cr \cr }$}
\setbox11=\hbox{$\matrix{\cr \scriptstyle 6 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox12=\hbox{$\matrix{ \cr \scriptstyle 5 \cr \scriptstyle 1\cr \cr }$}
\setbox13=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7\cr \scriptstyle 6 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox14=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 5 \cr  \cr \scriptstyle 1\cr \cr }$}
\setbox15=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7\cr \scriptstyle 6 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox16=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 5 \cr \scriptstyle 1\cr \cr\cr }$}
\setbox17=\hbox{$\matrix{\scriptstyle 7\cr \scriptstyle 6 \cr 
\scriptstyle 3\cr \scriptstyle 2\cr }$}
\setbox20=\hbox{$\ \equiv\ $}
\def\={\raise 0mm\copy20}
$$ \hbox{\boxit{5pt}{\box4} \boxit{5pt}{\box5}} \= 
\hbox{\boxit{5pt}{\box6} \boxit{5pt}{\box7}}
 \= \hbox{\boxit{5pt}{\box8} \boxit{5pt}{ \box9}}
 \= \hbox{\boxit{5pt}{\box10} \boxit{5pt}{\box11}} 
 \= \hbox{\boxit{5pt}{\box12} \boxit{5pt}{ \box13}}
 \= \hbox{\boxit{5pt}{\box14} \boxit{5pt}{ \box15}}
 \= \hbox{\boxit{5pt}{\box16} \boxit{5pt}{ \box17}}
$$

R\'ep\'etant ces op\'erations, on obtient une action du groupe sym\'etrique :


\setbox2=\hbox{ $\matrix{5 &6 & \cr 1 &3 & \cr
 &2 &4 \cr  & & }$ }
\setbox3=\hbox{$\matrix{5 & & \cr 1 &3 &6\cr & &4 \cr  & &2 \cr}$}
\setbox4=\hbox{$\matrix{5 & & \cr 3 &6 & \cr 1 &2 &4 \cr}$ }
\setbox5=\hbox{$\matrix{
1 &5 &6 \cr &3 &4 \cr & &2 \cr}$ }
\setbox6=\hbox{$\matrix{5 & & \cr  3 & & \cr 
 1 &2 &6 \cr & &4 \cr}$ }
\setbox7=\hbox{$\matrix{
1 &5 & \cr &3 &6 \cr &2 &4 \cr}$ }

$$ \matrix{  & &\box2  \ \longrightarrow  \ &\box3  \cr
&\nearrow  & & &\searrow \cr 
\box4 & &  & & &\box5 \cr
&\searrow  & & &\nearrow \cr
& &\box6 \ \longrightarrow \  &\box7 \cr}$$

Si l'on revient au taquin \`a deux colonnes, on remarque
que,  {\it de constructio}, les deux colonnes de droite sont embo\^\i t\'ees, 
et qu'il en est de m\^eme des colonnes de gauche par sym\'etrie. 
Ainsi, la colonne  ${ }_4^6$ 
est contenue dans la colonne 
\setbox2=\hbox{${}_6$}
\setbox3=\hbox{${}_2^4$}
\setbox4=\vbox{\box2 \box3}
\box4 \ , et  ${ }_1^5$ 
est contenue dans la colonne 
\setbox2=\hbox{${}_5$}
\setbox3=\hbox{${}_1^3$}
\setbox4=\vbox{\box2 \box3}
\box4 \ .

\vskip 3mm
Les colonnes de droite figurant dans l'hexagone ci-dessus sont donc embo\^\i t\'ees;
en d'autres termes, ce sont les colonnes d'une {\it clef} de m\^eme forme que le 
tableau qui est dite
\it clef droite \rm du tableau de d\'epart.

L'embo\^\i tement des colonnes gauches permet de m\^eme de d\'efinir 
la \it clef gauche\rm 
 du tableau.
\setbox2=\hbox{${}_5$}
\setbox3=\hbox{${}_ {111 }^{35}$}
\setbox4=\vbox{\box2\box3}
\setbox5=\hbox{${}_6$}
\setbox6=\hbox{${}_ {244 }^{46}$}
\setbox7=\vbox{\box5\box6}
\setbox8=\hbox{${}_5$}
\setbox9=\hbox{${}_ {124 }^{36}$}
\setbox10=\vbox{\box8\box9}
Pour l'exemple en cours, le tableau est  $ \box10$ , la clef gauche est 
$ \box4 $
et la clef droite 
$ \box7 \ .$

\smallskip
On peut noter, et c'est aussi une cons\'equence triviale tout
autant que remarquable du taquin,
que la clef gauche d'un tableau est inf\'erieure \`a sa clef droite[L\& S10-11].

Les clefs correspondent bijectivement aux permutations, ce qui permet de lier 
la combinatoire des tableaux aux propri\'et\'es de l'ordre d'Ehresmann 
(dit aussi de Bruhat) sur le groupe sym\'etrique. En particulier,
 on a besoin, en 
g\'eom\'etrie,  des cha\^\i nes de permutations pour d\'ecrire
 la postulation des 
vari\'et\'es de Schubert ([D1], [D2], [LMS]). 

Quoique nous ayons obtenu les polyn\^omes de Schubert non commutatifs comme 
suite directe de [L\& S4], ceux-ci n'ont \'et\'e soumis 
\`a publication que bien 
post\'erieurement [L\& S9], car il  subsiste un probl\`eme toujours
 non tranch\'e :
dans quelle cat\'egorie peut-on simultan\'ement utiliser les op\'erateurs 
$\partial_\mu$ et $\pi_\mu$  ? 

Ceci est grave , car pour un g\'eom\`etre, l'anneau de cohomologie et 
l'anneau de 
Grothendieck de la vari\'et\'e de drapeaux sont deux interpr\'etations 
diff\'erentes de l'anneau des polyn\^omes. 

Le pr\'eordre sur les permutations mentionn\'e plus haut fournit facilement 
la partie sym\'etrique stable d'un polyn\^ome de Schubert. En particulier,
 si l'on 
part d'une permutation qui est un produit direct de deux permutations 
grassmanniennes, le polyn\^ome de Schubert correspondant est le produit de deux 
fonctions de Schur et le pr\'eordre donne un algorithme de d\'ecomposition de 
ce produit diff\'erent de la fameuse {\it R\`egle de Littlewood-Richardson} 
[L\& S6].Plut\^ot qu'un produit direct de permutations grassmanniennes, 
A.Kohnert [Ko1] prend le cas de polyn\^omes de Schubert images par
 diff\'erences 
divis\'ees de fonctions de Schur, ce qui lui permet de donner la version 
duale de la r\`egle de Littlewood-Richardson exprimant le d\'eveloppement
 d'une fonction de Schur gauche (c'est l'algorithme tr\`es performant utilis\'e dans le 
syst\`eme SYMMETRICA dont Kohnert est le ma\^\i tre d'oeuvre). 

Remarquant que le produit scalaire avec un polyn\^ome de Schubert peut 
s'\'ecrire comme l'action d'une diff\'erence divis\'ee, puisque celles-ci sont 
auto-adjointes, on traduit le fait que les polyn\^omes de Schubert sont une base 
auto-adjointe en une formule d'interpolation pour les polyn\^omes de plusieurs 
variables:
$$P(B) = \sum\nolimits_\mu \pm \partial_\mu \big( P(A)\big) \cdot X_\mu (A,B) \ .$$
Dans le cas des fonctions d'une variable, cette formule coincide tr\`es 
exactement avec l'interpolation de Newton. Toutefois, dans ce dernier cas,  
seules apparaissent les diff\'erences divis\'ees correspondant aux cycles 
$\mu = 2\cdots n \, 1 \, n+1 \cdots $; les polyn\^omes obtenus par Newton :
$(a_1 -\beta)(a_2-\beta)\cdots (a_n-\beta)$ sont bien des polyn\^omes de Schubert.

Ce nom illustre et leur concision par rapport aux 
polyn\^omes de Demazure et Bernstein-Gelfand-Gelfand devrait, 
\`a notre sens, donner motif \`a la reconnaissance de leur pedigree
(si ce franglais est permis au Quebec) par les savants anglo-saxons. 


\vskip 3mm
C'est l'interpr\'etation des fonctions de Schur en termes de
 repr\'esentations qui 
justifie le fait que ces fonctions portent le nom de Schur et non de leurs
\lq\lq d\'ecouvreurs" Cauchy et Jacobi. Pour les polyn\^omes de Schubert, 
le lien avec 
la th\'eorie des repr\'esentations est \'etabli par Kraskiewicz et Pragacz 
[Kr-Pr] et sera certainement l'objet de d\'eveloppements importants.

Une autre approche [L\& S8] consiste \`a partir de l'expression des polyn\^omes de Schubert 
dans la base des produits de fonctions \'el\'ementaires (pour des drapeaux 
d'alphabets); on obtient des modules tout autant que des sommes de 
tableaux, en rempla\c{c}ant les fonctions \'el\'ementaires par des puissances 
ext\'erieures de modules libres, ou par des sommes de tableaux-colonnes. Par 
exemple, le polyn\^ome de Schubert $X_{31452}$ est \'egal \`a 
$(abc+abd+acd+bcd)\cdot (a) - (abcd)$; on obtient le module correspondant 
comme conoyau du morphisme  
$$    \Lambda^3 (V_4) \otimes V_1  \ \longleftarrow \Lambda^4(V_4) \ 
\longleftarrow 0$$
et les tableaux \`a l'aide de l'identit\'e dans l'alg\`ebre plaxique :
$$\ttab |3|2|11| +\ttab |4|2|11|+\ttab |4|3|11| \equiv 
\biggl( \ttab |3|2|1| ++\ttab |4|2|1|+\ttab |4|3|1|
+\ttab |4|3|2|\biggr) \cdot 1 - 
\ttab 4|3|2|1|   $$

En fait, l'objet principal de l'article [L\& S8] est de donner une formule de 
dualit\'e entre mono\"\i des plaxique et nilplaxique et de montrer
 la possibilit\'e 
d'un \lq\lq calcul de Schubert" en les variables non commutatives que sont les 
diff\'erences divis\'ees \'el\'ementaires.

Cent quatre vingt huit ans apr\`es Rothe, la combinatoire du groupe sym\'etrique s'enrichit d'un nouvel apport lotharingien avec les \lq\lq Weintrauben" d'A. 
Kohnert   [Ko2].  Au lieu d'inscrire des informations dans les
 bo\^\i tes  ou grappes du diagramme de 
Rothe \& Riguet, on d\'eforme celui-ci avec la r\`egle on ne peut 
plus \'el\'ementaire 
suivante : toute grappe la plus \`a droite de son niveau doit un jour 
ou l'autre choir d'un \'etage, poussant \'eventuellement les grappes dans 
la m\^eme 
colonne qui g\^enent son mouvement. De chaque Weintraub ainsi obtenu, on peut 
lire plusieurs informations, en particulier un mot : lire par colonnes, de 
droite \`a gauche, la suite des niveaux o\`u se trouve une grappe. Ce mot est 
transform\'e ensuite en tableau \`a l'aide de l'algorithme de Schensted 
ou par le jeu de taquin. Ainsi la permutation $\mu = 362154 $ a pour diagramme
de Rothe \& Riguet 

$$\matrix { 
 \cdot   &  \cdot   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \g   &  \g   &  \cr
 \g   &  \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 }$$ 

qui produit dix autres Weintrauben dont les premiers sont :

\smallskip

$\matrix { 
 \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \cdot   &  \cdot   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \g   &  \g   &  \cr
 \g   &  \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 }$ \qquad
$\matrix { 
 \cdot   &  \cdot   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \cdot   &  \g   &  \cr
 }$ 
\qquad 
$\matrix { 
 \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \cdot   &  \cdot   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \g   &  \cdot   &  \cr
 \g   &  \g   &  \cdot   &  \g   &  \cr
 }$ 

\smallskip

et la lecture de ces quatre Weintrauben donne les mots et tableaux suivants:

\smallskip
$ 2 5 2 2 1 3 2 1  \equiv 
\hbox { \raise -8mm\vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 5$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 25pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} }$ \ ; \ 
$2 4 2 2 1 3 2 1  \equiv 
\hbox { \raise -8mm\vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 4$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 25pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} } $ ; 

\smallskip 
\hskip 2.5cm
$1 5 2 2 1 3 2 1   \equiv 
\hbox { \raise -8mm\vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 5$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 25pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} } $ ; $
1 4 2 2 1 3 2 1   \equiv 
\hbox { \raise -8mm\vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 4$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 25pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} }$. 


\vskip 3mm

Kohnert prouve dans sa th\`ese que dans le cas d'une permutation vexillaire, on 
obtient bien le polyn\^ome de Schubert non commutatif obtenu en [L\& S9]. Les 
ingr\'edients pour conclure le cas g\'en\'eral sont maintenant r\'eunis, 
mais il est 
plus int\'eressant d'expliciter les liens \'etroits entre les Weintrauben et 
les nouvelles constructions sur les polyn\^omes de Schubert 
obtenues r\'ecemment, 
plut\^ot que de donner une preuve ind\'ependante.

Un point de vue enti\`erement diff\'erent est d\^u \`a Fulton qui 
retourne aux sources 
du \lq\lq calcul de Schubert". Etant donn\'ee une matrice, disons dont les 
\'el\'ements sont des polyn\^omes, Schubert, puis de mani\`ere beaucoup plus 
approfondie, Giambelli [Gi], ont examin\'e la vari\'et\'e d\'efinie par l'annulation des mineurs d'un certain ordre de cette matrice. Si l'on consid\`ere la matrice 
comme repr\'esentant un morphisme $\phi$ de fibr\'es vectoriels, c'est la 
stratification des points de la vari\'et\'e de base en fonction du corang 
de $\phi$ que l'on cherche \`a d\'ecrire. Si l'on filtre le morphisme 
par un drapeau source et un drapeau but, on a plus g\'en\'eralement 
\`a d\'ecrire le rang de familles de 
mineurs de la matrice de d\'epart. Le probl\`eme est tout d'abord 
de d\'ecrire ce 
que l'on entend par \lq\lq conditions de rang". La r\'eponse est apport\'ee par 
Fulton [Fu] : \'evaluer le rang des sous-matrices prises sur des lignes et des 
colonnes cons\'ecutives \`a partir de l'origine. Dans le cas, en fait
 g\'en\'erique, 
d'une matrice de permutation, les coins des composantes connexes du diagramme 
de la permutation (que Fulton 
appelle {\it points essentiels}, contiennent l'information voulue. En d'autres 
termes, pour la permutation $\mu = 764198532$ qui nous sert d'exemple 
g\'en\'erique, il suffit de conna\^\i tre la valeur du rang en les grappes qui
 ont \'et\'e 
remplac\'ees par la valeur de ce rang :


$$\matrix { 
 & -  & - & - & - & - & - & - & - & - \cr
 & - & 1  & - & - & - & - & - &-  & - \cr
 & - &\g  & 1 & -  & - & - & - & - & - \cr
 & - & \g & \g & - & 2 & - & - &-  & - \cr
 & - & \g  & \g & - & \g  &- &- & 4  &-  \cr
   & - & - &-  & - & - & - & - & - & - \cr
 & \g &\g  & 0 & - & - &  -& - & - & - \cr
 & \g & \g &\g  & \g & 0  & - & - & - & - \cr
 & \g &\g  &\g  &\g  & \g & 0 & - & - & - \cr }$$ 


Une fois \'eclaircie la notion de rang, la g\'eom\'etrie peut d\'evelopper ses 
puissantes m\'e\-thodes et aboutir \`a l'interpr\'etation des polyn\^omes de 
Schubert 
doubles comme classes dans l'anneau de cohomologie des sous-vari\'et\'es 
correspondant \`a des conditions de rang appropri\'es pour un morphisme entre 
drapeaux de fibr\'es vectoriels.

D'autres applications des polyn\^omes de Schubert sont donn\'ees dans 
[A-L-P] et [L-P].

Le statut social de Schubert s'am\'eliora consid\'erablement, du jour o\`u 
commenc\`erent \`a circuler les notes de I.G.Macdonald  [M] 
concernant les polyn\^omes du 
m\^eme nom. R\'edig\'ees avec la m\^eme \'el\'egance, clart\'e et pr\'ecision 
que le livre 
\lq\lq Symmetric Functions and Hall polynomials" dont 
elles constituent une suite 
naturelle, elles suscit\`erent imm\'ediatement l'int\'er\^et sur de nombreux 
continents -- on a signal\'e 
des photocopies pirates \`a l'universit\'e
 de Gifu, pr\'efecture de Nagoya.

Un des apports esentiels de ces notes concerne les chemins du permutoedre. 
Macdonald d\'ecouvre que la fonction g\'en\'eratrice du nombre de ces chemins, les ar\^etes \'etant convenablement pond\'er\'ees, est \'egale \`a la 
sp\'ecialisation du 
polyn\^ome de Schubert en l'alphabet $\{1, \ldots ,1 \}$. Changeant ensuite le 
poids des ar\^etes, il \'enonce ensuite la conjecture profonde que l'on 
trouve ainsi la sp\'ecialisation des polyn\^omes de Schubert en $\{1, q,q^2, 
\ldots \}$. Elle vient d'\^etre prouv\'ee dans des articles non 
encore publi\'es que je ne peux qu' \'evoquer rapidement (les chemins pour 
l'ordre d'Ehresmann sont aussi li\'es aux polyn\^omes de Schubert, 
{\it cf.} [L\& S3]).

Durant l'\'et\'e 91, R.Stanley proposa une \'enum\'eration 
\'el\'egante des mon\^omes apparaissant dans le d\'evelop\-pement 
d'un polyn\^ome de 
Schubert. A chaque d\'ecomposition r\'eduite $s = s_1 s_2 \cdots s_r$, Stanley 
associe l'ensemble $W(s)$ des mots d\'ecroissants $w$ domin\'es (composante \`a 
composante) par $s$ et ayant des d\'ecroissances contraintes 
aux d\'ecroissances 
de $s$, c'est-\`a-dire des mots tels que 
$$ s_i \geq w_i \qquad ; \qquad  s_i >s_{i+1} \Rightarrow w_i > w_{i+1} $$

Par exemple, $s =\sigma_5 \ \sigma_3 \ \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 \sigma_5
\ \sigma_1 \sigma_2$  majore les mots d\'ecroissants 
$ 5 \ 3 \ 2222 \ 11 $ et $4 \ 3 \ 2222 \ 11 $ et 
$s =\sigma_5 \ \sigma_3 \ \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 
\ \sigma_1 \sigma_2\sigma_5$  majore les mots d\'ecroissants 
$ 5 \ 3 \ 222 \ 111 $ et $4 \ 3 \ 222 \ 111 $. 

En utilisant le tableau d'insertion du mot $s$, on obtient des 
tableaux plut\^ot que de simples mots. La conjecture de Stanley, prouv\'ee 
dans [B-J-S], est que la somme $\sum_{s,w\in W(s)}\ w$, o\`u $ s$ parcourt 
l'ensemble des d\'ecompositions r\'eduites de $\mu^{-1}$, est 
\'egale au polyn\^ome de 
Schubert $X_\mu$.

On d\'ecouvre alors que les quatre mots que nous venons de donner produisent
tr\`es exactement les quatre tableaux obtenus \`a l'aide des Weintrauben
quelques lignes plus haut. 

Plut\^ot que d'invoquer le hasard, on peut tout d'abord remarquer que 
la majoration par les d\'ecompositions $s$ est redondante. Comme l'ont 
montr\'e [R-S], il suffit de remplacer les tableaux qui sont des
 d\'ecompositions 
r\'eduites par leurs clefs gauches, puis de consid\'erer les classes 
plaxiques de ces 
derni\`eres. Ceci revient \`a remplacer les deux d\'ecompositions 
r\'eduites  $s =\sigma_5 \ \sigma_3 \ \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 \sigma_5
\ \sigma_1 \sigma_2$ et  
$s =\sigma_5 \ \sigma_3 \ \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 
\ \sigma_1 \sigma_2\sigma_5$ par les mots 
$ 5 \ 3\ 2222 \ 11 $ et $ 5\ 3\ 222\ 111 $ qui majorent les m\^emes mots d\'ecroissants.

Donnons un autre exemple, complet : pour 
 $\mu = 412365$, les d\'ecompositions r\'eduites sont 
$\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \sigma_5$, qui est le tableau ligne
 \hbox { \vbox {
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 5$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} }
 seul dans sa classe, et 
$\sigma_5 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3$, $ \sigma_1 \sigma_5\sigma_2 \sigma_3$, 
$ \sigma_1 \sigma_2 \sigma_5\sigma_3$ dans 
la classe du tableau
\hbox { \vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 5$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 38pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 2$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 3$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 38pt
} }. 

\smallskip 
Les clefs gauches sont 
 \hbox { \vbox {
\hrule width 51pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 51pt
} } \ 
et \ 
\hbox { \vbox {
\hrule width 12pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 5$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 38pt
\vskip 0pt
\hbox {
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
\kern-3.5pt
\hbox to 13pt{\vrule height10pt depth3pt$\ 1$ \vrule height10pt depth3pt}
}
\vskip 0pt
\hrule width 38pt
} }
, dont les classes 
plaxiques sont respectivement  $\{ 1111 \}$ et $\{ 5111, 1511, 1151 \}$.
Ceci donne instantan\'ement $X_{412365} = a_1 a_1 a_1 a_1 + a_5 a_1 a_1 a_1
+ a_4 a_1 a_1 a_1 + a_3 a_1 a_1 a_1+ a_2 a_1 a_1 a_1$, et illustre le lien 
entre la construction de Stanley et [L\& S9-10].

Reiner et Shimozono [R-S] \'etudient  en outre 
les propri\'et\'es des polyn\^omes-clefs 
(\lq\lq Key polynomials"), pour donner en particulier le d\'eveloppement 
d'une fonction de Schur drapeau gauche. L'apport essentiel de leur article me 
semble toutefois l'interpr\'etation directe des polyn\^omes clefs comme 
caract\`eres, sans recourir comme le faisait  Demazure [D1] aux sections
 des fibr\'es 
inversibles au dessus des vari\'et\'es de Schubert, mais 
par g\'en\'eralisation de la 
construction par Young de ses fameux idempotents.

La preuve par Fomin et Stanley [Fo-S] de la conjecture de Macdonald 
repose sur le choix de $X^{FS} = (1 +a \partial_2)(1+a\partial_1)(1+b\partial_2)$ comme \'el\'ement de 
d\'epart, les diff\'erences divis\'ees \'etant relatives 
\`a un deuxi\`eme alphabet. 
Malgr\'e la non-commutativit\'e des $\partial_i$, il
 est facile de faire agir sur 
$X^{FS}$ les diff\'erences divis\'ees relatives \`a l'alphabet $\{a,b,c \}$. 
L'ingr\'edient essentiel du calcul est la relation de Yang-Baxter
$$(1 +x \partial_2)(1+(x+y)\partial_1)(1+y\partial_2) = 
(1 +y \partial_1)(1+(x+y)\partial_2)(1+x\partial_1) \ ,  $$
pour tous param\`etres $x,y$ ind\'ependants de l'alphabet sur lequel 
agissent les 
$\partial_i$ (pour des relations plus g\'en\'erales, voir [B-K]).

Les liens entre \'equation de Yang-Baxter et polyn\^omes de Schubert 
sont d\'evelopp\'es dans [F-K].

Nous voici donc arriv\'es aux fronti\`eres de la physique moderne.
Je laisse \`a de plus comp\'etents que moi le soin  d'\'evoquer 
 l'importance des alg\`ebres de Hecke en th\'eorie des 
cordes, des noeuds et des  \'energies in\'epuisables et non polluantes. 



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\centerline{ Bibliographie}
\vskip 3mm
\parindent=0mm


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