%% AL/1992   DiffDiv_DiscreteM.tex    version transitoire, dec.1989  
%%%%%%%%%%%%%%%%%  Hermes
\magnification=1200
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\parindent 12pt 
\parskip=3pt plus 2pt minus 1pt

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\font\tenpc=cmcsc10
\font\eightpc=cmr8

% Charge des fontes de 8 et 6 points :
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\font\sixsy=cmsy6
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\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

% Chargement des fontes AMS

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\font\eightgoth=eufm8      \font\eightbboard=msbm8
\font\sevengoth=eufm7      \font\sevenbboard=msbm7
\font\sixbboard=msbm6
\font\fivebboard=msbm5
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\newfam\gothfam
\newfam\bboardfam

\catcode`\@=11

\def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue}
\def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty\@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}}

\def\tenpoint{%
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  \normalbaselines\rm}

\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}\let\old=\oldstyle
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  \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}%
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  \normalbaselines\rm}

\frenchspacing   \tenpoint

\let\bb=\bboard

%ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ dactylographie franaise ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ

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\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
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\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
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\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

%__________________________________________________________________________

\def\appeln@te{}
\def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint
  \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty
  \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes
  \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM
  \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip
  \vskip 2pt
  \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi
  \footstrut\futurelet\next\fo@t}

\pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000

%__________________________________________________________________________

\newtoks\auteurcourant \newtoks\titrecourant   \newbox\seroul

\auteurcourant={\hfil} \titrecourant={\hfil}  

\def\titleheadline{\hfil}

\newif\iftpage       \tpagetrue         

\def\coinshaut{\setbox\seroul=\line{\dimen\seroul=\hsize
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\kern\dimen\seroul
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\def\coinsbas{\setbox\seroul=\line{\dimen\seroul=\hsize
\advance\dimen\seroul by 1cm
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\kern\dimen\seroul
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\def\plainoutput{\shipout\vbox{
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\coinsbas}
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\headline={%
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\else   \ifodd\pageno\rightheadline
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%\def\titlefootline{\hfil} \def\rightfootline{\hfil}    \def\leftfootline{\hfil}

%\footline={\iftpage\titlefootline\else
%  {\ifodd\pageno\rightfootline\else\leftfootline\fi}\fi}

\def\leftheadline{\line{\strut\rlap{\tenrm\folio}\kern10mm\eightit\the\auteurcourant\hfill}}

\def\rightheadline{\line{\strut\hfill\eightit\the\titrecourant\kern 10mm\llap{\tenrm\folio}}}

\def\titleheadline{%
\ifodd\pageno \line{\strut\hfill\tenrm\folio}%
\else         \line{\strut\tenrm\folio\hfill}%
\fi}

%__________________________________________________________________________

\let\rmpc=\sevenrm  % sur le Mac seulement

\def\pd#1#2 {\pc#1#2| }

\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak\hskip 0em
  plus .3em minus .4em }

\def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}}

\def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}}

\def\titre#1|{\message{#1}
              \par\vskip .5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -100
              \noindent{\bf #1}
              \vskip 5pt
              \penalty 1000 }

\def\section#1|{\par\vskip .3cm
                {\bf #1}\pointir}

\def\ssection#1|{\par\vskip .2cm
                 {\it #1}\pointir}

%les differents retraits, voir aussi \item

\def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}}

\def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt
\noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}}

\def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt}
\def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt}

% pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret :

\def\titrea#1|#2|%
{\message{#1 #2}
  \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -100
  \leftline{\bf #1}
  \leftline{\bf #2}
  \vskip 5pt
  \penalty 1000 }

\def\sectiona#1|%
{\par\vskip .3cm
  {\bf #1.}
  \par\penalty 1000\vskip 3pt }

\def\ssectiona#1|%
{\par\vskip .2cm
  {\it #1.}
  \par\penalty 1000\vskip 2pt }

\long\def\th#1|#2\finth{\par\vskip 5pt
              {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\vskip 3pt}

\long\def\tha#1|#2\fintha{\par\vskip 5pt
                    {\petcap #1.}\par\penalty 1000{\it #2}\par\vskip 3pt}
\def\cf{{\it cf}}

\def\rem#1|{\par\vskip 5pt
                 {{\it #1}\pointir}}

\def\rema#1|{\par\vskip 5pt
                 {{\it #1.}\par\penalty 1000}}

%__________________________________________________________________________

\def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}}
\def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}}
\def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}}
\def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}}
\def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}}

%reference pour un article :
\def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7|%
{{\leftskip=7mm\noindent
     \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3, {\sl #4}, t.\penalty 1000\ {\bf #5}, {\oldstyle #6},
     p.\penalty 1000\ #7.\filbreak}}

%reference pour un livre :
\def\livre#1|#2|#3|#4|%
{{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
    \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
    {\sl #3}\pointir #4.\filbreak}}

%reference complementaire :
\def\divers#1|#2|#3|%
{{\leftskip=7mm\noindent
    \hangindent=2mm\hangafter=1
     \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir
     #3.\filbreak}}

\mathchardef\conj="0365

\def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir}

\def\proof{\par{\it Proof}\pointir}

\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt
\vfill\hrule}\vrule}}

%\quad\hbox{\hskip 1pt\vrule width 4pt height 6pt
%depth 1.5pt\hskip 1pt}}

\def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\vskip 3pt}
\long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt
{#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}}

\def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax}

\def\dleqno#1|{\hfil\kern-\displaywidth\rlap{$#1$}\kern\displaywidth
  \hfilneg}

\def\@lign{\tabskip\z@skip\everycr={}}

\def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\llap{$##$}\crcr#1\crcr}}

\def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ 
\hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}&
\kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}}

\def\eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{
\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
&&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil
\crcr#1\crcr}}\,}

\catcode`\@=12

%pour les restrictions des fonctions en mode centre et dans le texte

\def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$}%
            \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi
            \dimen2=\ht1
            \advance\dimen2 by\dp1
            \divide \dimen2 by 2
            \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen2{}\right.$}}

\def\pv{\kern 2pt\string;\ }

\def\\#1{{\cal#1}}



%¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥
% ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ pour qu'il la ferme ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ ¥
%¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥

\showboxbreadth=-1  \showboxdepth=-1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   FIN DU FICHIER HERMES 
%
\centerline{\bf D\'ecompositions dans l'alg\`ebre des
diff\'erences divis\'ees }

\centerline{Alain Lascoux \& Marcel-Paul Sch\"utzenberger}


\vskip 3mm
\hfill{\it version transitoire, dec.1989}

\vskip 5mm

\abstract{ The group algebra of the symmetric group
on the ring of rational functions has, apart from 
its canonical basis of permutations, several bases of
\it symmetrizing operators \rm, among which the classical
 Newton's \it divided differences \rm. We deal here with the 
explicitation of the matrices of change of bases.
Our main result is that, in the case of $Gl(n) $, 
the components of the matrices 
associated to the classical bases are just specializations 
of \it Schubert \rm or \it Grothendieck polynomials \rm(proposition 3.2 ,
formulas 3.9 , 4.5, 4.6, 4.7, 4.11 ).
We refer to the work of Arabia, Bernstein-Gelfand\-Gelfand, 
Kac, Kostant, Kumar, Rossmann for the interpretation 
of these matrices in terms of (equivariant) cohomology and 
K-theory rings of the flag manifold, or equivariant singularities of 
Schubert varieties. 
Our main technical tool is the simple observation 
that all but one specialization of the maximal twofold 
Schubert polynomial ${\bb{X}}$
 vanish (lemma 2.10).}

\titre 1. Introduction |


L'alg\`ebre du groupe sym\'etrique ${\goth{S}}(A)$ d'un ensemble d'ind\'etermin\'ees
 $A$ est \'etudi\'ee depuis Frobenius
et Young. De nouvelles propri\'et\'es apparaissent lorque l'on prend
le produit tensoriel {\it tordu} $\big(${\bf [Bou}, III.180, ex.11{\bf ]}
dit {\it produit crois\'e}; {\bf [Ko-Ku 1,2]} emploient le terme 
{\it smash product} $\big)$ 
avec le corps des fractions rationnelles 
${\cal{R}}(A) $ de l'alg\`ebre sym\'etrique associ\'ee \`a 
$A$, 
les coefficients dans le corps des fonctions rationnelles en
les variables sur lesquelles agit le groupe, au lieu de
coefficients dans le corps des complexes. 
Cette alg\`ebre, que nous notons 
 ${\cal E }$ admet d'autres bases
que la base canonique des permutations, en particulier les diff\'erences 
divis\'ees de Newton ;
c'est pourquoi nous l'appelons \lq\lq Alg\`ebre des diff\'erences
divis\'ees".

Un point de vue alternatif consiste en la caract\'erisation des 
op\'erateurs sur l'anneau des polyn\^omes, 
v\'erifiant les relations de Coxeter : on retrouve,
 apr\`es tensorisation par ${\cal{R}}(A) $, l'alg\`ebre 
${\cal E}$, cf.\bf[La-Sch 5] \rm, cette fois-ci comme r\'ealisation 
concr\`ete de l'alg\`ebre de Hecke du 
groupe sym\'etrique.

La g\'eom\'etrie fournit diff\'erentes interpr\'etations de l'alg\`ebre 
${\cal E}$ comme alg\`ebre d'op\'erateurs sur l'anneau de cohomologie,
 de Grothendieck, la cohomologie \'equivariante ou la 
K-th\'eorie \'equivariante de la vari\'et\'e de drapeaux. Suivant 
l'interpr\'etation choisie, il faudra identifier
$ \alpha , e^\alpha , \ldots $ au quotient de deux variables cons\'ecutives : 
$a_1/a_2 , \ldots $ , et les op\'erateurs de ${\cal E}$ 
aux op\'erateurs naturels pour ces diff\'erentes 
th\'eories cohomologiques. L'avantage pr\'esent de la combinatoire est 
que l'on m\`ene simultan\'ement les calculs dans les diff\'erentes 
th\'eories, et m\^eme, que l'on obtient par exemple, des relations 
explicites entre les polyn\^omes qui rel\`event les cycles de
Schubert et ceux qui rel\`event les caract\`eres de Demazure 
(\bf[La-Sch 7]\rm) quoique ces objets appartiennent de fait \`a des 
cat\'egories diff\'erentes. Plus encore, on peut \'etendre les constructions 
\`a l' \it alg\`ebre libre \rm\bf[La-Sch 6] \rm et retrouver ainsi \it tableaux de 
Young\rm,  \it bases standard \rm, etc... en liaison avec l'alg\`ebre 
${\cal E}$ .

Un des probl\`emes int\'eressants de la th\'eorie consiste en l'explicitation
des diff\'erentes matrices de changement de base.

Nous montrons ici que les principales de ces matrices, 
consid\'er\'ees en particulier par 
\bf[Ara 2, 3]  \rm, \bf[Ko-Ku 1\rm, \bf2]\rm, \bf[Kum]\rm, \bf[Ros]\rm,  sont donn\'ees par les 
polyn\^omes de Schubert et ceux de Grothendieck 
( prop. 3.2 , formules 3.8 , 3.9, 4.6 , 4.7, 4.11 ).


Rappelons que les polyn\^omes de Schubert interviennent par ailleurs : 

- comme base de l'anneau des polyn\^omes en tant que module 
libre sur l'anneau des polyn\^omes sym\'etriques \bf[La-Sch 1] 
\rm(r\'esultat implicite dans \bf[B-G-G]\rm, d\'ecrit dans un autre 
contexte par \bf[Ara 1\rm, p.42\bf]\rm).

- comme base de la cohomologie des vari\'et\'es de drapeaux 
associ\'ees aux 
groupes lin\'eaires \bf[B-G-G]\rm, \bf[Dem 1]\rm, \bf[La-Sch 1]\rm.

- comme coefficients dans la formule d'interpolation de Newton
\`a plusieurs variables \bf[La-Sch 4]\rm.

- comme caract\`eres irr\'eductibles \bf[Kr-Pr] \rm.

- comme g\'en\'eralisation des fonctions de Schur dans la troisi\`eme
\'edition du livre de \bf[Mac]\rm.

\it Attention \rm: Les op\'erateurs agissent sur tout ce qu'ils trouvent sur 
leur gauche. 


\titre 2. Diff\'erences divis\'ees |

Soient $A= \{ a_1 , \ldots , a_{n+1} \}$ un ensemble totalement ordonn\'e
d'ind\'e\-ter\-mi\-n\'ees (un \it alphabet \rm) et ${\cal R}(A)$ l'anneau des 
fonctions rationnelles en $A$.
On note ${\goth{S}}(A)$ le groupe sym\'etrique sur $A$, $\omega$ son \'el\'ement 
maximal. Pour tout $f \in {\cal R}(A)$ , $f^\mu$ 
est l'image de $f$ par la permutation $\mu$. 

Soit ${{\cal{E}}}$ l'alg\`ebre des op\'erateurs 
$D$ sur  ${\cal R}(A)$ , du type  
$ D = \sum_{\zeta\in{{\cal{S}}}_{}(A)}\zeta R_\zeta(D) $, o\`u les coefficients 
$R_\zeta(D)$  appartiennent \`a ${\cal R}(A)$ .
L'anneau ${\cal R}(A)$  s'injecte canoniquement dans ${{\cal{E}}}$ :
\setbox3=\hbox{\sl \lq\lq op\'erateur}
\setbox4=\hbox{\sl multiplication par}
$${\cal R}(A) \ni f \longrightarrow \box3 
\ \box4 \  f " \ .$$ 
Pour \'eviter les exposants trop volumineux, nous noterons 
aussi $f\mu \in {\cal R}(A)$ la fonction 
$f^\mu$ , ou dirons \lq\lq la fonction $f\mu$"
 ou \lq\lq le polyn\^ome $f\mu$ lorsque nous 
voudrons distinguer ces derniers de l'op\'erateur compos\'e 
de "multiplication par $f$" par 
"permutation $\mu$".

L'alg\`ebre ${{\cal{E}}}$ est un ${\cal R}(A)$-module \`a gauche, 
aussi bien qu'\`a droite, les deux structures s'\'echangeant 
par l'\'egalit\'e 
\setbox3=\hbox{\sl Pour tout couple}
$$\box3 \ (f,\mu) : 
 f\in {{\cal{R}}}(A) \, ,  \mu \in {\goth{S}}(A), 
\quad \mu f = f^{\mu^{-1 }}\, \mu \qquad .$$
Le produit dans ${{\cal{E}}}$ est donn\'e par 

$$\sum_\zeta\zeta \, R_\zeta(D)\cdot \sum_\nu\nu \, R_\nu(D') 
= \sum_{\zeta,\nu}\zeta\nu \, \big(R_\zeta(D)\big)^\nu R_\nu(D') 
\leqno \bf(2.1) \rm$$


On a dans ${{\cal{E}}}$ des op\'erateurs, index\'es par les \'el\'ements de 
${\goth{S}}(A)$ , remis \`a l'honneur par l'\'etude des vari\'et\'es de 
drapeaux : les \it diff\'erences divis\'ees \rm$\partial_\mu$ dues \`a Newton,
 les \it sym\'etriseurs convexes \rm$\pi_\mu $ ,
 les \it sym\'etriseurs concaves \rm$\psi_\mu$ . 

La d\'efinition de ces op\'erateurs est, dans le cas o\`u $\mu$ 
est la transposition simple $\sigma_i$ \'echangeant $a_i$ et $a_{i+1}$ ,
 en employant alors la notation  $\partial_i , \pi_i, \psi_i$  :
$$ \bf(2.2) \rm\qquad \qquad \qquad  \left\{ \eqalign{
\partial_i &= {1 \over (a_i - a_{i+1})}(1+\sigma_i)  \cr
\pi_i &= {1 \over (1 - a_{i+1}/a_i)}(1+\sigma_i)= a_i \partial_i \cr
\psi_i &= (\sigma_i-1){1 \over (1 - a_i/a_{i+1})}= \partial_i a_{i+1} = \pi_i -1 \cr }
\qquad \right. $$

Il faut compl\'eter 2.2 par les valeurs en $\mu =$ {\sl identit\'e} qui 
sont respectivement $\partial_{id} = 1$ , $\pi_{id} = 1$, $\psi_{id} = 0$ .

Chaque famille d'op\'erateurs $\{ \sigma_i \}$, $\{ \partial_i \}$, 
$\{ \pi_i \}$, $\{ \psi_i \}$ v\'erifie s\'epar\'ement les 
relations de Moore/Coxeter (en \'ecrivant $\{D_i \}$ pour 
l'une quelconque de ces familles) :
$$ D_iD_j = D_jD_i \  si \  |i-j|\geq2 \qquad , \leqno \bf(2.3)\rm$$

$$ D_iD_{i+1}D_i = D_{i+1}D_iD_{i+1}
\qquad . \leqno \bf(2.4)\rm$$

Les relations 2.3 et 2.4 impliquent que les $\partial_\mu, \pi_\mu , \psi_\mu $ peuvent 
s'\'ecrire comme le produit d'op\'erateurs \'e\it l\'ementaires \rm$\partial_i , \pi_i , \psi_i$
 correspondant \`a une d\'ecomposition r\'eduite arbitraire de $\mu$ (\it i.e. 
\'e\rm criture de $\mu$ comme un produit de longueur minimale  
de transpositions simples) .

On peut remarquer que 

$$ \left\{ \matrix{
\quad \partial_i\partial_i &= \quad 0 \cr
\quad \pi_i\pi_i &= \quad \pi_i & \qquad .\cr
\quad \psi_i\psi_i &= \ -\ \psi_i\cr } \right. \leqno{\bf (2.5)} $$ 

Dans \bf[La-Sch 5] \rm(voir aussi \bf[Gut]\rm), 
on donne des op\'erateurs plus g\'en\'eraux 
satisfaisant, en plus 
des relations de Coxeter, la relation de Hecke
$$ D_i D_i = qD_i + r \qquad .  \leqno \bf(2.6) \rm$$

Les op\'erateurs correspondant \`a la permutation maximale 
$\omega $ de ${\goth{S}}(A)$~,
 ont une expression globale, outre leurs diff\'erentes
 expressions comme produits d'op\'erateurs \'el\'ementaires 
\bf[La-Sch 3] \rm:
$$\displaylines{\rlap{\bf(2.7)}\rm\hfill
\partial_\omega = {1 \over \Delta}\, \sum_{\mu\in{\goth{S}}(A)} \ \mu  \quad , \hfill \cr
\rlap{\bf(2.8)\rm} \hfill
 \pi_\omega = {\rho\over \Delta}\, \sum_{\mu\in{\goth{S}}(A)} \ \mu \quad ,\hfill \cr
\rlap{\bf(2.9)\rm} \hfill
 \psi_\omega = {1\over \Delta}\, \sum_{\mu\in{\goth{S}}(A)} \ \mu\ \rho^\omega\quad ,\hfill \cr } $$
\noindent
o\`u $\Delta$ est le \it Vandermonde \rm: $ \Delta = \prod_{i<j}(a_i-a_j) $ et $\rho$ le 
mon\^ome $a_1^n  a_2^{n-1} \cdots a_{n+1}^0 $ \ (qui correspond \`a la 
demi-somme des racines positives), de sorte que 
$\rho^\omega = a_1^0 a_2^1 \cdots a_{n+1}^n$ .

\vskip 5mm
En d'autres termes, pour toute fonction 
$f \in {\cal R }(A)$, son image $f\partial_\omega$ par $\partial_\omega $ est 
la somme des transform\'ees de $f/ \Delta$ par toutes les 
permutations $\mu \in {\goth{S}}(A)$~, $f \psi_\omega $ s'obtient en multipliant 
$f \partial_\omega$ par $\rho^\omega$ tandis que $f \pi_\omega$ est la somme des 
transform\'ees de $f \rho/\Delta$ par les $\mu \in {\goth{S}}(A)$ .

\vskip 3mm
On simplifie beaucoup les calculs dans ${{\cal{E}}}$ en faisant agir les 
\'el\'ements de ${{\cal{E}}}$ sur un \'el\'ement appropri\'e de ${\cal R}(A)$ plut\^ot 
que d'utiliser les relations 2.3, 2.4, 2.5~. 
Pour cela, on introduit un deuxi\`eme alphabet 
$Y= \{ y_1, \ldots, y_{n+1} \}$ 
de m\^eme cardinal que $A$, les \'el\'ements de $Y$ \'etant suppos\'es 
invariants par les \'el\'ements de ${{\cal{E}}}$ et ${{\cal{R}}}(A)$ d\'esignant 
dor\'enavant les fonctions rationnelles en $A$ \`a coefficients 
les fonctions rationnelles en $Y$.
 Soit de plus $\theta$ la sp\'ecialisation $Y \longrightarrow A$ , i.e. 
$y_1 \rightarrow a_1 \ , \ldots , y_{n+1} \rightarrow a_{n+1}$ .

Dans le cas des diff\'erences divis\'ees, 
on part du polyn\^ome 
$${\bb{X}} = \prod_{i+j\leq n+1} (a_i-y_j)\qquad , $$ 
\noindent
dont la facult\'e essentielle , qui montre que ${\bb{X}}$ est la 
"polarisation" du Vandermonde, est la propri\'et\'e 
d'annulation suivante
(provenant directement de ce qu'un des facteurs au moins du polyn\^ome 
${\bb{X}}^\mu \theta $ s'annule, sauf lorsque $\mu=\omega$) :

\th Lemme \bf(2.10) \rm| Les op\'erateurs ${\bb{X}}\mu\theta$ sont tous nuls, sauf
 ${\bb{X}}\omega\theta \ = \ \Delta\omega  \ . $ \finth

Le lemme permet de d\'ecomposer tout \'el\'ement de ${{\cal{E}}}$ dans la base 
canonique $\{ \zeta \} $ , ainsi que nous l'avons indiqu\'e dans \bf[La-Sch 5]  \rm:

\th Corollaire \bf(2.11) \rm| Soit $D = \sum \zeta \, R_\zeta(D)$ un \'el\'ement de 
${{\cal{E}}}$ . Alors $R_\zeta(D) = {\bb{X}}\, \omega \zeta^{-1}\, D\theta \ / \Delta^\omega
 =  {\bb{X}} {1 \over \Delta }\, \omega \zeta^{-1} \, D \, \theta \ \in {{\cal{R}} }(A) 
$    . \finth
\vskip 2mm
\it Preuve \rm: l'image par $\theta$ de la somme 
$\sum_\nu {\bb{X}}\, \omega\zeta^{-1}\nu \, R_\nu(D)$
se r\'eduit \`a un seul terme d'apr\`es 2.10 . \qquad  \qed

\vskip 3mm
En d'autres termes, le coefficient $R_\zeta(D)$ s'obtient comme 
image du polyn\^ome ${\bb{X}}$ par la suite d'op\'erations : multiplication par 
$1/\Delta$ , permutation par $\omega \zeta^{-1}$ , application de 
$D$ et sp\'ecialisation $\theta$ .

Les coefficients $R_\zeta(D)$ sont compatibles avec la composition
 par les \'el\'ements de ${{\cal{E}}}$, ainsi que le montre le lemme 
suivant dont la preuve est la m\^eme que celle de 2.11 :

\th Lemme \bf(2.12) \rm| Soient $P\in{\cal R}(A) \ , \ \eta\in{\goth{S}}(A)$ . Alors ,
pour toute permutation $\zeta$, pour tout \'el\'ement $D $ 
de ${\cal E}$ , on a
: $$ R_\zeta(\eta PD) = P \eta^{-1} \zeta \, R_{\eta^{-1}\zeta}(D) \ . $$  \finth

\titre 3. Polyn\^omes de Schubert |

Les images de ${\bb{X}}$ par les diff\'erences divis\'ees $\partial_\mu$ 
sont par d\'efinition les \it Polyn\^omes de Schubert \rm(doubles). 
Plus pr\'ecis\'ement \bf[Las 1] \rm:

\rem D\'efinition \bf(3.1) \rm| Le polyn\^ome de Schubert $X_\mu$ d'indice 
$\mu \in {\goth{S}}(A)$ est \'egal \`a ${\bb{X}} \partial_{\omega\mu}$ .

\vskip 3mm
L'indexation est choisie de sorte que $X_\omega = {\bb{X}}$ ; cet \'el\'ement 
doit s'interpr\'eter, en cohomologie, comme la classe de la diagonale 
pour le plongement diagonal de la vari\'et\'e de drapeaux. 
L'\'el\'ement $X_{\omega\omega}$ est quant \`a lui \'egal \`a 1 ($\omega\omega = $identit\'e).
La base des {\it cycles de Schubert } 
s'obtient par sp\'ecialisation des 
$X_\mu$ en $y_1 = \cdots = y_{n+1} = 0$ ; comme les \'el\'ements de $Y$ 
sont des scalaires pour les diff\'erences divis\'ees, les cycles de Schubert 
sont donc les images par les diff\'erences divis\'ees de la 
sp\'ecialisation de $X_\omega$ , i.e. du mon\^ome $\rho$ \bf[La-Sch 3] \rm.

Par exemple, pour $A= \{ a,b,c,d\}$ et $Y = \{ x,y,z,\check z \}$ de
cardinal 4 , on a, en \'ecrivant en indice 
$ijhk$ plut\^ot que $a_i a_j a_h a_k$ : 
\vskip 3mm \noindent
${\bb{X}} = X_{4321} = (a-x)(a-y)(a-z) (b-x)(b-y) (c-x)$
\vskip 3mm \noindent
$X_{3421} = X/(a-z)$ ; $X_{4231} = X/(b-y)$ ; $X_{4312} = X/(c-x)$

\vskip 3mm \noindent
$X_{2431} = (a-x)(b-x)(c-x)(a+b-y-z)$ ; $X_{3241} = X/(a-z)(b-y)$;
$X_{3412} = X/(a-z)(c-x)$ ; $X_{4132} = (a-x)(a-y)(a-z)(b+c-x-y)$ ;
$X_{4213} = X/(b-y)(c-x)$

\vskip 3mm \noindent
$X_{2341} = (a-x)(b-x)(c-x)$ ; $X_{1432} = a^2b+a^2c+ab^2+abc +b^2c 
-(a^2+ab+b^2)(x+y) - (ab+ac+bc)(x+y+z) +(a+b)(x^2+xy+y^2) 
+(a+b+c)(xy+xz+yz) -(x^2y+x^2z+xy^2+xyz+y^2z) $ 
; $X_{2413} = 
(a-x)(b-x)(a+b-y-z)$ ; $X_{3142} = (a-x)(a-y)(b+c-x-y)$ ;
$X_{3214} = (a-x)(a-y)(b-x)$ ; $X_{4123} = (a-x)(a-y)(a-z)$ .

\vskip 3mm \noindent
$X_{1342} = ab+ac+bc -(x+y)(a+b+c)+x^2 +xy+y^2$ ;
$X_{1423} =a^2 +ab+b^2 -(a+b)(x+y+z)+xy+xz+yz $ ;
$X_{2143} =(a-x)(a+b+c-x-y-z)$ ; $X_{2314} = (a-x)(b-x)$ ;
$X_{3124} = (a-x)(a-y)$ .

\vskip 3mm \noindent
$X_{1243} = a+b+c-x-y-z$ ; $X_{1324} = a+b-x-y$ ; $X_{2134} = a-x$ .

\vskip 3mm \noindent
$X_{1234} = 1$

\vskip 5mm
Les polyn\^omes de Schubert sont invariants par le plongement 
${\goth{S}} \big(\{ a_1,\ldots ,a_n \}  \big)$ $ \longrightarrow 
{\goth{S}}  \big(\{ a_1 \ldots a_{n+1}\}  \big) $ 
(adjonction du point fixe $a_{n+1}$) ; ainsi, les 
polyn\^omes pour ${\goth{S}} (\{a,b,c \})$ correspondent-ils, 
dans la table pr\'ec\'edente,
aux permutations $\mu $ telles que $ d\mu = d$ .

\vskip 3mm
Le corollaire 2.11 donne la d\'ecomposition des diff\'erences 
divis\'ees dans la base canonique $\{ \zeta \}$ en 
fonction des polyn\^omes $X \nu \partial_\mu \theta$ .
 Combinant avec 2.12, on obtient cette d\'ecomposition en 
fonction des sp\'ecialisations des polyn\^omes de Schubert :

\th Proposition \bf(3.2)\rm| Pour tout couple de permutations 
$\mu,\zeta $, les coefficients $R_\zeta(\partial_\mu) $ 
sont \'egaux \`a $\displaystyle {X \over \Delta}\,  \omega\zeta^{-1} \, \partial_\mu \, \theta 
= X_{\omega\mu} \, \zeta^{-1} \omega \theta \omega \zeta \, / \Delta^\zeta$ , 
c'est-\`a-dire l'on a  
$$ \partial_\mu = \sum_\zeta \, \zeta \, 
\big( X_{\omega\mu} \, \zeta^{-1} \, \omega \, \theta \, \omega \, \zeta / \Delta^\zeta \big) \qquad . $$   \finth
Par exemple, le polyn\^ome de Schubert 
$X_{1423} = X_{4321} \partial_3\partial_2\partial_1\partial_3 = 
a^2 +ab+b^2 -(a+b)(x+y+z)+xy+xz+yz  $ 
a comme seules sp\'ecialisations non nulles tous les 
$X_{1423} \, \nu^{-1}\omega\theta\omega\nu = (a-c)(a-d)$ et 
$X_{1423} \, \sigma_1 \nu^{-1}\omega\theta\omega\nu\sigma_1  
= (b-c)(b-d)$ , o\`u $\nu$ parcourt 
${\goth{S}} (a) \times {\goth{S}} (\{b,c,d \} )$ , i.e. o\`u $\nu$ est telle 
que $a\nu = a$ . La proposition 3.2 entra\^{\i}ne donc le 
d\'eveloppement 
$\partial_3\partial_2\partial_1\partial_3 = (1-\sigma_2-\sigma_3+ \sigma_2\sigma_3 + \sigma_3 \sigma_2 -\sigma_2\sigma_3\sigma_2 ) \*
\big({(a-c)(a-d) \over \Delta }- \sigma_1 \, {(b-c)(b-d) \over \Delta }\big) \ . $

\vskip 3mm
On prendra garde que les polyn\^omes $X \, \omega \, \zeta^{-1}\, \partial_\mu $ et 
$X_{\omega\mu} \, \zeta^{-1} \, \omega$ sont diff\'erents, quoique leurs images par $\theta$ 
co\"\i ncident \`a permutation pr\`es d'apr\`es 3.2.


Pour le groupe sym\'etrique ${\goth{S}} (a,b,c)$ , la matrice de 
changement de base est :

$$ \left\{ \eqalign{
1 \Delta &= (a-b)(a-c)(b-c)  \cr
\partial_1 \Delta &= (1-\sigma_1 )(a-c)(b-c)  \cr
  \partial_2 \Delta &= (1-\sigma_2 )(a-b)(a-c) \cr
\partial_1 \partial_2 \Delta &= (1-\sigma_1 )(a-c) + (\sigma_1 -1)\sigma_2 (a-b) \cr
\partial_2 \partial_1 \Delta &= (1- \sigma_2 )(a-c) + (\sigma_2 -1) \sigma_1 (b-c) \cr
\partial_1 \partial_2 \partial_1 \Delta &=  1 - \sigma_1 -\sigma_2 + \sigma_1 \sigma_2 +  \sigma_2 \sigma_1 - \sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 \cr
} \right. $$


Ces coefficients sont not\'es  $c_{\mu\bf,\zeta} $  par \bf[Ko-Ku 1]\rm, 
\bf[Kum]  \rm et $q_{\mu^{-1}}^{ \zeta^{-1}}$ par \bf[Ara 3]\rm.

On corrobore le fait que 
$$ \nu > \mu \Rightarrow R_\nu (\partial_\mu) \ = \ 0   \leqno \bf(3.3) \rm$$
(l'ordre sur les permutations est celui d'Ehresmann, dit aussi
\it de Bruhat\rm, dit aussi \it strong order\rm). Comme l'application r\'eciproque 
est aussi vrai, on a l\`a, ainsi que le remarque le rapporteur, une 
caract\'erisation int\'eressante de l'ordre de Ehresmann/Bruhat 
(voir aussi \bf [ Ko-Ku 1\rm et \bf 2 ], [Ros], [Kum] \rm .

Il suit de 3.3 que l'on peut reformuler 2.10 en :

\th Lemme 3.4 | Les op\'erateurs ${\bb{X}} \partial_\mu \theta \ $ , o\`u les $\mu \in 
{\goth{S}}(A)$ , sont nuls, sauf 
${\bb{X}} \partial_\omega \theta \ = \ \omega$ . \finth

En particulier, consid\'erant l'image de $1$ par les op\'erateurs
${\bb{X}} \partial_\mu \theta$, on obtient :

\th Lemme 3.5 | Pour toute permutation $\mu$ ,
le polyn\^ome $X_{\omega\mu} \theta $ est nul,
 sauf $ X_{\omega\omega} \theta = X_{\omega\omega} = 1$ \qquad .  \finth

La relation 2.5 implique que $\partial_\mu \partial_\nu = \partial_{\mu\nu} $ ou $0$ suivant
 que $\ell (\mu\nu) = \ell (\mu) + \ell (\nu)$ ou non. Du lemme 3.4 
s'ensuit donc le d\'eveloppement de tout \'el\'ement de ${\cal E}$ dans la 
base $\{ \partial_\mu \}$ :

\th Lemme 3.6 | Soit $D = \sum_\zeta Q_\zeta (D) \partial_\zeta$ , 
avec $ Q_\zeta(D)  \in {\cal R}(A) $, un \'el\'ement de ${\cal E}$.
 Alors $ Q_\zeta(D) = {\bb{X}} \, D \, \partial_{\zeta^{-1}\omega} \, \theta\omega $ 
\qquad .  \finth

\noindent
\it Preuve \rm. La somme ${\bb{X}} \sum_\nu Q_\nu (D) \partial_\nu \partial_{\zeta^{-1}\omega}\, \theta\,  \omega\ = \
\sum_\nu Q_\nu (D) {\bb{X}} \partial_\nu \* \partial_{\zeta^{-1}\omega} \* \, \theta \, \omega $ 
se r\'eduit au seul terme $Q_\zeta(D) \omega\omega 
\ = \ Q_\zeta(D) $ puisque tous les op\'erateurs ${\bb{X}} \partial_\mu \theta$ sont nuls,
 sauf ${\bb{X}} \partial_\omega \theta $ . \qquad  \qed

\vskip 3mm 
Nous avons d\'ej\`a en \bf[La-Sch 5]  \rm attir\'e l'attention sur le fait 
que la matrice des coefficients 
$Q_\zeta(\mu)$ est auto-inverse, \`a sym\'etrie et \`a 
multiplication par $\Delta$ pr\`es, ce que l'on retrouve ici 
en comparant 3.2 et 3.6 (Kumar a aussi remarqu\'e cette propri\'et\'e):

$${1 \over \Delta }\, Q_\zeta(\mu) = 
 R_{\mu^{-1}\omega}(\partial_{\zeta^{-1}\omega }) \, \omega   \qquad .   \leqno \bf(3.7) \rm$$


Ainsi, du d\'eveloppement des $\partial_\mu$ donn\'e plus haut d\'eduit-on :

$$ \bf(3.8) \rm\qquad  \left \{  \eqalign{
    \sigma_1  &=  (a-b)\partial_1 - 1 \cr
\sigma_2  &=  (b-c)\partial_2 - 1 \cr
\sigma_1 \sigma_2  &= (a-b)(a-c)\partial_1 \partial_2
 - (a-b)\partial_1- (a-c)\partial_2 + 1 \cr
\sigma_2 \sigma_1  &= (a-c)(b-c)\partial_2 \partial_1 
- (a-c)\partial_1 - (b-c)\partial_2 + 1 \cr
\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 &= \omega  \cr
&= \Delta\partial_\omega -(a-b)(a-c)\partial_1 \partial_2 
-(a-c)(b-c)\partial_2 \partial_1 \cr 
&+(a-c)(\partial_1 +\partial_2 ) -1 \cr }
\right. $$

Les $\partial_\mu$ sont les op\'erateurs naturels en cohomologie de la vari\'et\'e
 de drapeaux ( pour \bf[B-G-G]\rm, la diff\'erence divis\'ee $\partial_\mu $
est  $A_\mu $, pour \bf[Dem 3]\rm,
c'est  $D_\mu $ et enfin, chez  
\bf[Ko-Ku 1] \rm on trouve $x_\mu $ ) .

\vskip 3mm
On peut en fait relever les 
diff\'erences divis\'ees en des op\'erateurs agissant sur la cohomologie 
T-\'equi\-va\-riante de la vari\'et\'e de drapeaux \bf[Ara 1,2]\rm, 
\bf[Dem\rm, 1979,non publi\'e \bf]\rm, \bf[Kac]\rm, 
la th\'eorie pouvant m\^eme \^etre faite dans le cas plus 
g\'en\'eral d'une alg\`ebre de Kac-Moody
 ( \bf[Ara 3] \rm, \bf[Ko-Ku 2] \rm). Aux diff\'erences divis\'ees,
on pr\'ef\`ere alors les op\'e\-ra\-teurs 
$\Delta \partial_\mu$ . Le lemme 2.12 donne le d\'eveloppement de ces derniers 
dans la base $\{ \zeta \} $ \`a partir de celui des $\partial_\mu$ obtenu 
en 3.2 :
$$R_\zeta(\Delta \partial_\mu) = R_\zeta(\partial_\mu)\, \Delta^\zeta = 
X_{\omega\mu} \, \zeta^{-1}\omega\theta\omega\zeta  \qquad .  \leqno \bf(3.9) \rm$$

Ces coefficients sont donc les sp\'ecialisations des polyn\^omes de 
Schubert par le morphisme $y_i \rightarrow a_i\, \omega\zeta$. Utilisant la m\'ethode de 
localisation de Berline-Vergne \bf[Be-Ve] \rm en cohomologie K-\'equivariante, 
Arabia \bf[Ara 1, 2] \rm donne une interpr\'etation globale des 
$R_\zeta(\Delta\partial_\mu) $ comme des inva\-riants \'equivariants attach\'es aux points 
fixes des vari\'et\'es de Schubert. Le coefficient $R_\zeta(\Delta\partial_\mu) $ est 
similairement et ind\'ependamment interpr\'et\'e par Rossmann \bf[Ros] 
\rm comme multiplicit\'e \'equivariante de la vari\'et\'e de Schubert 
d'indice $\mu$ au point $\zeta$.

Ind\'ependamment de toute g\'eom\'etrie, l'induction 
$\mu \rightarrow \mu\sigma_i$ permet d'obtenir les coefficients 
$R_\zeta(\Delta\partial_\mu) $ \`a l'aide des sous-mots d'une d\'e\-com\-po\-si\-tion r\'eduite
 arbitraire de $\mu$ \bf[Ko-Ku 2]\rm, \bf[Kum\rm, lemma 4.4 \bf]\rm, \bf[Ara 3\rm, prop.3.3\bf]\rm.

Le morphisme qui envoie la vari\'et\'e de Schubert d'indice 
$\mu$ sur l'op\'e\-ra\-teur $\Delta \partial_\mu$
 est une injection de la cohomologie \'equi\-va\-riante de la vari\'et\'e 
de drapeaux dans l'alg\`ebre ${\cal E}$ ( \bf[Ara 1,2] \rm, \bf[Ko-Ku 2]\rm) ; 
dans le cas que nous consid\'erons (le groupe lin\'eaire), cette 
injection r\'esulte des formules explicites que nous donnons 
ci-dessus.
 
\vskip 3mm 
Le d\'eveloppement 3.9 peut aussi s'obtenir \`a partir de la \it Formule 
de Leibniz  \rm dans l'alg\`ebre ${\cal{E}}$ :

$$ \displaylines{ 
\rlap{ \bf(3.10) } \rm\hfil \forall f,\ldots , g,h \in {\cal R}(A) \quad , 
\quad  f\cdots gh \partial_i = f\cdots g (h^{\partial_i}) \quad \quad  \cr
\hfill \ + \ f\cdots (g^{\partial_i}) h \sigma_i \ + \ \cdots \ + \ 
(f^{\partial_i}) \cdots gh \sigma_i \ + \  \partial_i f\cdots gh \sigma_i \cr } $$
o\`u $f,\ldots, g,h$ d\'enotent des \'el\'ements de ${\cal{R}}(A)$, 
et du fait que les fonctions sym\'etriques en $a_i$ et $a_{i+1}$ sont des 
scalaires pour $\partial_i$~.

\vskip 3mm
Par exemple, pour ${\goth{S}}(\{a,b,c\})$ , on obtient successivement 
$$\eqalign{
(a-b)\partial_1 &= a\partial_1 - b\partial_1 + \partial_1(b-a) = 1 + \sigma_1 \cr
(a-b)(a-c)(b-c)\partial_1 &= (1+\sigma_1)(a-c)(b-c) \cr
(a-b)(a-c)(b-c)\partial_1 \partial_2 
&= (1+\sigma_1)(a-c)(1+\sigma_2) \cr 
&+ (1+\sigma_1)(a\partial_2-c\partial_2)(c-b) +(1+\sigma_1)\partial_2 \cr
&= (1+\sigma_1)(a-c) + (1+\sigma_1)\sigma_2(a-b)  \quad . 
 \cr}$$
Ce dernier calcul donne en fait l'expression de $\Delta \partial_\mu$ en fonction 
des sous-mots d'une d\'ecomposition r\'eduite de $\mu$ , et co\"\i ncide 
avec l'algorithme de Arabia et Kostant-Kumar mentionn\'e plus haut.

Les r\'esultats de ce paragraphe peuvent aussi s'\'ecrire 
\`a l'aide du produit scalaire : 
$\forall P,Q \in {\cal R}(A), \ (P,Q) := PQ \partial_\omega $ 
pour lequel 
la base des polyn\^omes de Schubert est auto-adjointe \bf[La-Sch 1] 
, [Ko-Ku 1] \rm.

\titre 4. Polyn\^omes de Grothendieck |

L'anneau de Grothendieck de la vari\'et\'e de drapeaux fait 
intervenir de mani\`ere naturelle les op\'erateurs $\pi_\mu$ et
$\psi_\mu$ ( \bf[Dem 3] \rm note $\Lambda_\mu^0$ pour $\pi_\mu$ ; \bf[Dem 1] \rm emploie 
l'op\'erateur conjugu\'e de $\psi_\mu$ par $\omega$ 
, qu'il note $L_\mu $ ).
 Le corollaire 2.11 donne le d\'eveloppement de
 ces op\'erateurs dans la base canonique $\{ \zeta \}$ :

$$R_\zeta(\pi_\mu) = {\bb{X}} \, \pi_\mu \, \zeta^{-1}\omega\theta\omega\zeta / \Delta^\zeta  \quad .  \leqno \bf(4.1)\rm$$
Il se trouve que ce sont d'autres polyn\^omes que les ${\bb{X}} \, \pi_\mu$ qui 
interviennent en K-th\'eorie  
\bf[La-Sch 2]\rm, \bf[Las 2] \rm:
\rem D\'efinition \bf(4.2) \rm|
Le polyn\^ome de Grothendieck d'indice $\mu$ est $G_\mu= 
\prod_{i+j\leq n+1} (1-y_i/a_j) \, \pi_{\omega\mu} = { {\bb{X}} \over \rho } \, \pi_{\omega\mu} $ .

\vskip 3mm
Les polyn\^omes de Grothendieck sont des polyn\^omes en les 
$\{ 1/a_i \}$ et $\{ y_j \}$ ; en fait, 
$G_\omega = \prod_{i+j\leq n+1} (1-y_i/a_j) = X/\rho$ et l'on peut \'eviter de
recourir aux inverses en remarquant que les 
 $\rho \, G_\mu$ sont des polyn\^omes en les 
$\{a_i \}$ et $\{ y_j \}$ .

Les polyn\^omes de Grothendieck, tout comme les polyn\^omes de 
Schubert, sont des g\'en\'eralisations des \it fonctions de Schur \rm.
Inversement, les \it multifonctions de Schur \rm permettent de donner
 des expressions condens\'ees de ces polyn\^omes.
\rem D\'efinition \bf(4.3) \rm| Soient $A$ et $Y$ deux alphabets
finis. Les \it fonctions sym\'etriques compl\`etes \rm$S_j(A-Y)$ 
sont les coefficients de la s\'erie g\'en\'eratrice 
$${ \prod_{y\in Y}(1- \xi y) \over \prod_{a \in A }(1- \xi a) }
 = \sum_{-\infty }^{+\infty }\, \xi^j \, S_j(A-Y)  \qquad ,  $$ 
o\`u $\xi$  est une ind\'etermin\'ee suppl\'ementaire.

\rem D\'efinition \bf(4.4) \rm| Soient $r$ un entier, $H =
(h_1 , \ldots, h_r )$ un r-uplet d'entiers rationels , 
$A^1, \ldots, A^r$, $Y^1 , \ldots, Y^r$ des alphabets finis. 
\qquad Alors, la \it(multi-)fonction de Schur \rm\qquad 
$S_H(A^1-Y^1,\ldots,A^r-Y^r)$ est la valeur du d\'eterminant 
$$\vert S_{h_j +j-i}(A^j - Y^j) \vert_{1\leq i,j \leq r }\qquad . $$ 


Dans le cas de ${S}(\{a_1,\ldots,a_4 \} )$ , notons en outre 
$(ijh \ \ddag \ mnp)$ la fonction $(a_1a_2a_3)^{-3 }\* 
S_{333} (A_i -Y_m , A_j -Y_n , A_h-Y_p ) $ \ , o\`u, pour tout $k$,
$ A_k $ est l'alphabet des k-premi\`eres lettres de $A$ :
$A_k = \{ a_1 , \ldots , a_k \}$ , mutatis mutandis pour $Y $. Alors 

\vskip 3mm \noindent
$G_{4321} = (321 \ddag 123) $

\vskip 3mm \noindent
$G_{3421} =(321 \ddag 122)$ ; $G_{4231} =(321 \ddag 113)$ ;
$G_{4312} =(321 \ddag 023)$ .

\vskip 3mm \noindent
$G_{2431} =(322 \ddag 113)$ ; $G_{3241} =(321 \ddag 112)$ ;
$G_{3412} =(321 \ddag 022)$ ; $G_{4132} =(331 \ddag 023)$ ; 
$G_{4213} =(321 \ddag 013)$ .

\vskip 3mm \noindent
$G_{1432} =(332 \ddag 023)$ ; $G_{2341} =(321 \ddag 111)$ ; 
$G_{2413} =(322 \ddag 013)$ ; $G_{3142} =(331 \ddag 022)$ ; 
$G_{4123} =(321 \ddag 003)$ ; $G_{3214} =(321 \ddag 012)$ .

\vskip 3mm \noindent
$G_{1342} =(332 \ddag 022)$ ; $G_{1423} =(322 \ddag 003)$ ;
$G_{2143} = G_{2134} \cdot G_{1243} $ ; $G_{2314} =(321 \ddag 011)$ ; 
$G_{3124} =(321 \ddag 002)$ .

\vskip 3mm \noindent
$G_{1243} =(333 \ddag 003)$  ; $G_{1324} =(322 \ddag 002)$ ; 
$G_{2134} =(321 \ddag 001)$ .

\vskip 3mm \noindent
$G_{1234} =(321 \ddag 000)= 1 $ .

\vskip 5mm

On remarquera que, mis \`a part $G_{2143}$ , les polyn\^omes de 
Grothendieck s'expriment \`a l'aide d'une seule fonction de Schur.
Pour un groupe ${\goth{S}} (A)$ quelconque, les 
permutations $\mu$ telles que $G_\mu$ ou $X_\mu$ soient \'egaux \`a une 
fonction de Schur sont dites \it vexillaires \rm(cf. \bf[La-Sch 2] \rm pour la d\'efinition 
et \bf[La-Sch 1] \rm pour les diff\'erentes caract\'erisations de ces 
permutations) .

\vskip 3mm
Le lemme 2.11 permet de d\'ecomposer les ${1 \over \rho } \pi_\mu $ 
dans la base $\{ \zeta \}$  :
$$R_\zeta({1 \over \rho}\pi_\mu) = G_{\omega\mu} \ \zeta^{-1}\omega 
\ \theta \ \omega\zeta \ / \Delta^\zeta  \qquad , \leqno \bf(4.5)\rm$$ 
d'o\`u, \`a l'aide du lemme 2.12  :
$$R_\zeta(\pi_\mu) = G_{\omega\mu} \ \zeta^{-1}\omega \ \theta \ 
\omega\zeta \ \rho^\zeta / \Delta^\zeta  \qquad . \leqno \bf(4.6)\rm$$ 
En d'autres termes, le d\'eveloppement de $\pi_\mu $ dans la base
canonique $\{  \zeta \} $ est fourni par les sp\'ecialisations des 
polyn\^omes de Grothendieck \big( par le morphisme 
$ \zeta^{-1}\omega\theta\omega\zeta : y_1 \rightarrow a_1\zeta , \ldots ,
y_{n+1} \rightarrow a_{n+1}\zeta $ \big) .

Ainsi le polyn\^ome de Grothendieck 
$G_{321} \pi_1 \pi_2 = G_{213} = (1-x/a)$ a 
comme sp\'ecialisations non nulles $G_{213}\, \omega\theta\omega = 1-c/a = 
G_{213}\, \sigma_1 \omega\theta\omega \sigma_1$ et $G_{213}\, \sigma_2 \omega\theta\omega\sigma_2 = 1-b/a =
G_{213}\, \sigma_2 \sigma_1 \omega\theta\omega \sigma_1 \sigma_2 $, ce qui entra\^\i ne 
d'apr\`es 4.6 le d\'eveloppement 
$$\eqalign{
\pi_1 \pi_2 = &{ab \over (a-b)(a-c)}
- \sigma_1 \, {b^2 \over (a-b)(b-c) } \cr
&- \sigma_2 \, {ac \over (a-c)(b-c) }
 + \sigma_1 \sigma_2 \, {c^2 \over (a-c)(b-c) } \qquad .\cr }$$

Les $R_\zeta(\pi_\mu)$ sont not\'es 
$b_{\mu,\zeta} $ par \bf[Kum] \rm et  par \bf[Ko-Ku 2] \rm. 


La d\'efinition des op\'erateurs $\pi_\mu$ et $\psi_\mu$ peut s'\'etendre \`a 
la K-th\'eorie \'equivariante des vari\'et\'es de drapeaux, et m\^eme des 
alg\`ebres de Kac-Moody ( \bf[Ko-Ku 2] \rm; \bf[Kum] \rm).
Brion nous a fait remarquer que le 
principe de localisation s'\'etend \`a la K-th\'eorie ; en d'autres 
termes, le morphisme qui associe \`a la vari\'et\'e 
de Schubert d'indice 
$\mu $ l'\'el\'ement $ {\Delta \over \rho} \pi_\mu$ est l'injection
 naturelle de la K-th\'eorie T-\'e\-qui\-va\-riante de la vari\'et\'e de 
drapeaux dans ${\cal E}$ \  \bf[Kum \rm, th 2.2\bf]\rm.

Tenant compte du facteur
 ${\Delta \over \rho}$, on obtient 
\`a partir de (4.1) le d\'e\-ve\-lop\-pe\-ment de ces op\'erateurs 
dans la base $\{ \zeta \} $ :
$$R_\zeta( {\Delta \over \rho }  \pi_\mu) = G_{\omega\mu} \, \zeta^{-1}\omega\theta\omega\zeta  \qquad .  \leqno \bf(4.7)\rm$$
Les images des vari\'et\'es de Schubert dans ${\cal E} $
ont donc pour composantes
 (dans la base $\{ \zeta \}$ ) les sp\'ecialisations des polyn\^omes de 
Grothendieck par le morphisme $y_1 \rightarrow a_1\omega\zeta ,
 \ldots, y_{n+1} \rightarrow a_{n+1}\omega\zeta$ .

On peut noter que la sp\'ecialisation $y_1 \rightarrow 1 , \ldots, y_{n+1} \rightarrow 1$ du 
polyn\^ome de Grothendieck $G_\mu$ est la classe du 
{\it faisceau structural } 
de la vari\'et\'e de Schubert d'indice $\mu$ 
(\bf[Dem 1]\rm, \bf[Las 2]\rm, \bf[La-Sch 2]\rm), 
les ind\'etermin\'ees $a_1 , \ldots, a_{n+1} $ 
 devant s'interpr\'eter comme les classes 
respectives des fibr\'es inversibles, dits 
tautologiques, de la vari\'et\'e de drapeaux.

On peut retrouver les cycles de Schubert \`a partir des 
classes des faisceaux structuraux, \`a l'aide du changement 
de variables $1- 1/a_i = \beta_i$. Soient $\partial_\mu^\beta$ 
les diff\'erences divis\'ees associ\'ees \`a l'alphabet 
$B = \{\beta_1,\ldots , \beta_{n+1} \}$. Il est facile de 
v\'erifier que 
$$\pi_i = (1-\beta_{i+1}) \, \partial_i^\beta  \qquad .\leqno \bf(4.8) \rm$$
Ainsi donc l'image de $(1-1/a_1)^n \cdots (1-1/a_{n+1})^0 
= \beta_1^n \cdots \beta_{n+1}^0 $ par $\pi_\mu$ a pour terme 
de plus bas degr\'e en $B$ le polyn\^ome 
$ \beta_1^n \cdots \beta_{n+1}^0 \, \partial_\mu^\beta $, c'est-\`a-dire le 
cycle de Schubert d'indice $\omega\mu$. Ce r\'esultat s'obtient 
classiquement en prenant le terme de degr\'e 
minimum du polyn\^ome de Grothendieck en 
les variables $e^\alpha= 1 + \alpha + \cdots $. 
Cependant la formule 4.8 permet d'obtenir l'expression exacte 
des polyn\^omes de Grothendieck en fonction des polyn\^omes de 
Schubert, et pas seulement leur terme dominant.


\vskip 3mm
On sait par ailleurs \bf[Las 2]  \rm que 
$\psi_\mu = \sum_{\nu\leq\mu}(-1)^{\ell (\nu) }\pi_\nu$ ,
 o\`u l'in\'egalit\'e est relative \`a l'ordre d'Ehresmann. 
R\'eciproquement, $\pi_\mu = \sum_{\nu\leq\mu}\psi_\nu$ ; on pourrait ais\'ement retrouver
 ces deux \'egalit\'es \`a l'aide des formules de d\'ecomposition dans les
bases $\{ \pi_\mu \}$ ou $\{ \psi_\mu \}$ donn\'ees ci-dessous. Comme corollaire,
 on a que la fonction de M\"obius du groupe sym\'etrique (pour l'ordre
 d'Ehresmann) prend ses valeurs dans $\{ +1 , -1 \}$ 
suivant la longueur \bf[Ver] \rm.

\vskip 3mm
Le d\'eveloppement de $\psi_\mu$ provient 
donc de celui des $\pi_\nu$ :
$$R_\zeta(\psi_\mu) = \sum_{\nu\leq\mu} (-1)^{\ell (\nu) 
}G_{\omega\nu} \ \zeta^{-1}\omega \ \theta \ \omega\zeta \ \rho^\zeta \ / \Delta^\zeta  \qquad . \leqno \bf(4.9)\rm$$ 
On a en fait une identit\'e plus compacte, \`a l'aide de l'involution
 suivante permettant d'\'echanger les op\'erateurs $\pi$ et $\psi$ 
(il suffit de prouver (4.10) pour une transposition simple
 \bf[Las 2]\rm) :
$$ \omega \, {1 \over \rho} \, \pi_\mu \, \rho \, \omega 
= (-1)^{\ell (\mu) } \, \psi_{\omega\mu\omega}  \qquad . \leqno \bf(4.10) \rm$$
Rassemblant 4.6 et 4.10, on obtient ainsi :
$$R_\zeta(\psi_\mu) = (-1)^{\ell (\mu) }
G_{\mu\omega} \ \omega \zeta^{-1} \ \theta \ \zeta\omega {\rho\over \Delta^\zeta} \ \omega  \qquad . \leqno \bf(4.11)\rm$$ 

Inversement, le d\'eveloppement des \'el\'ements de ${\cal E}$ en 
fonction des $\pi_\mu$ ou $\psi_\mu$
 est donn\'e par les deux lemmes, 
corollaires de 2.10.
\th Lemme \bf4.12 \rm| 
Soit $D = \sum_\mu P_\mu (D) \pi_\mu$ , 
avec $P_\mu \in {\cal R}(A) $ , 
un \'el\'ement de ${\cal E}$ .
  Alors $ \mu \neq \omega \Rightarrow P_\mu(D) = G_\omega \ 
D \ \psi_{\mu^{-1}\omega} \ \theta \ \omega  $ et 
 $P_\omega(D) = G_\omega \ D \ \theta\omega  .$  \finth

\vskip 3mm
Ainsi, pour $D= \psi_1 \psi_2= (\pi_1 -1)(\pi_2 -1)$ , on trouve 
$G_{321} D = G_{213} - G_{231} - G_{312} + G_{321}$ , d'o\`u 
$G_{321} \, D \, \pi_1 = G_{123} - G_{132} $ et 
$G_{321} \, D\, \pi_2 = 0 = G_{321} \, D \, \pi_1 \pi_2 $ , ce qui donne bien 
$ \psi_1 \psi_2= \pi_1 \pi_2  - \pi_1 -\pi_2 +1 $ .

\vskip 3mm
Les $P_\mu(\zeta) $ sont not\'es $e^{\mu , \zeta } $ par \bf[Ko-Ku 2] \rm. 

\vskip 3mm
Similairement, le d\'eveloppement dans la base des 
$\{ \psi_\mu \}\cup \{1 \} $ est :
\th Lemme \bf4.13 \rm| 
Soit $D = \sum_{\mu, \mu\neq id } \, \check P_\mu (D) \, \psi_\mu\ + \ 
\check P_{id}\, 1 $ , 
avec $\check P_\mu \in {\cal R}(A) $, 
un \'el\'ement de ${\cal E}$ .
  Alors $ \check P_\mu(D) = G_\omega \ D 
\ \pi_{\mu^{-1}\omega} \, \theta \, \omega  $ 
et  $\check P_{id} \, (D) = G_\omega \, D \, \pi_\omega \, \theta\omega \quad . $  \finth  

Par exemple, soit $D = \partial_2 \partial_1$. Alors $G_{321} D= 
(1-x/b)(1-x/a)(1-y/a)\partial_2 \partial_1 = 
(1-x/b)\partial_2 (1-x/a)(1-y/a) \partial_1 = 
(x/bc) (1-x/a)(1-y/a) \partial_1 = 
(x/abc)(1-xy/ab) $. On a donc $G_{321} D = G_{321} D \pi_2$ et 
$G_{321} D \pi_1 = G_{321} D \pi_2 \pi_1 = 
G_{321} D \pi_1 \pi_2 =G_{321} D \pi_1 \pi_2 \pi_1 =
x/abc $ , d'o\`u en prenant l'image de ces fonctions 
par $\theta\omega $,  le d\'eveloppement :
$$\partial_2\partial_1 = ({1 \over ab}) (\psi_2 \psi_1 + \psi_1 +\psi_2 + 1) \qquad . $$

Les r\'esultats de cette section peuvent aussi 
s'obtenir \`a l'aide du produit scalaire sur ${\cal R}(A)$: 
$\forall P,Q \in {\cal R}(A), \ <P,Q> := PQ\pi_\omega$; en effet, 
la base des polyn\^omes de Grothendieck et sa base adjointe sont \'echang\'ees 
par une involution \'el\'ementaire \bf[Las 2]\rm, ce qui permet 
de d\'ecomposer explicitement 
les \'el\'ements de ${\cal R }(A)$ dans chacune de ces 
deux bases.


\vskip 3mm
Outre de nombreuses remarques destin\'ees \`a am\'eliorer l'exposition,
le rapporteur a bien voulu apporter les pr\'ecisions g\'eom\'etriques suivantes:

Il existe une nuance conceptuelle tr\`es importante concernant 
la d\'efinition des op\'erateurs agissant sur les diff\'erents groupes de 
cohomologie $H^*(X) $ de la vari\'et\'e de drapeaux $X$
. Dans {\bf [B-G-G]}, les $A_i$ sont d\'efinis {\it a
priori} sur l'alg\`ebre $S({\goth{h}}^*)$ et l'existence des g\'en\'eralisations 
$A_\mu$ n'est acquise que par le viais de toute la combinatoire li\'ee
\`a l'ordre de Bruhat sur le groupe de Weyl. Il s'agit donc bien, au 
d\'epart, d'objets alg\'ebriques. Post\'erieurement, {[B-G-G]} fait intervenir 
le r\'esultat de Borel qui d\'emontre que le morphisme caract\'eristique 
(de Chern-Weil) $\alpha : S({\goth{h}}^*) \rightarrow H^*(X)$ est surjectif et de noyau l'id\'eal 
${\cal{I}}$ engendr\'e par les polyn\^omes sym\'etriques non constants, et apr\`es 
avoir signal\'e que les $A_\mu$ laissent stables ${\cal{I}}$, ils les font 
op\'erer \lq\lq naturellement" sur la cohomologie de $X$. Je rappelle en 
passsant, que ces op\'erateurs cohomologiques sont not\'es, en fait, 
$\bar A_\mu $. Le principal r\'esultat de {\bf [B-G-G]} est l'\'egalit\'e, 
bien connue depuis lors,
$$ \langle X_\mu \, , \, \alpha (P) \rangle = A_\mu(P)(0) \ , $$
pour tout $P \in S({\goth{h}}^*)$. Il est entendu que la d\'emonstration utilise des 
techniques co\-ho\-mo\-logiques et g\'eom\'etriques, mais celles-ci 
n'apparaissent pas dans la conception des $A_\mu$. On peut donc affirmer 
que si leur action cohomologique est naturelle, elle n'est pas moins 
\lq\lq{\it a posteriori}".

Il y a eu par la suite de nombreux essais de g\'en\'eralisation de ce travail 
dans diverses directions et, plus pr\'ecis\'ement pour les vari\'et\'es de 
drapeaux associ\'ees aux groupes de Ka$\check c$-Moody, celui de 
Kostant-Kumar {\bf [Ko-Ku1]} est assez satisfaisant. Mais l\`a aussi
ces op\'erateurs, not\'es $x_\mu$ maintenant, sont introduits dans un contexte 
purement alg\'ebrique et agissent toujours {\it a posteriori} sur la
 cohomologie de $X$. Il en est de m\^eme dans les articles de Demazure 
cit\'es.

Dans tous ces travaux, on peut, donc, justement consid\'erer que les 
$A_\mu$ sont des objets essentiellement alg\'ebro-combinatoires. La vraie 
d\'efinition {\it a priori} cohomologique appara\^\i t chez M.Demazure 
(non publi\'e, mais voir Marlin dans le cas g\'eom\'etrique, non-\'equivariant 
et en dimension finie, et Arabia dans le cas topologique, \'equivariant et 
de Ka$\check c$-Mody) et V.Ka$\check c$ (en collaboration avec D.Peterson 
et dans le cas topologique, non-\'equivariant et de Ka$\check c$-Moody ; 
malheureusement, l'article donn\'e en r\'ef\'erence \lq\lq{\it Cohomology of 
infinite-dimensional 
groups and their flag varieties}" n'a jamais \'et\'e publi\'e \`a ma connaissance),
 mais avec une nuance non n\'egligeable qui favorise le premier : 
si tous les deux d\'efinisssent $A_i$ par la compos\'ee $\pi_i^* \pi_{i*}$ 
pour la projection canonique $\pi_i$ de $G/B$ sur $G/P_i$, seul le 
premier a r\'eussi \`a d\'efinir $A_\mu$ en cohomologie et pour tout 
$\mu$, {\it sans avoir recours \`a la combinatoire des groupes de Coxeter !}
En effet, soit ${\cal{T}}_\mu$ l'adh\'erence de la $G$-orbite du point 
$(e,\mu)$ dans la vari\'et\'e $X\times X$ sur $X$ et notons $p_i$ les restrictions 
\`a $T_\mu$ des projections canoniques de $X \times X$ sur $X$, on a alors 
$A_\mu = p_{1*}p_2^* $ ({\it confer} {\bf [Ara3]}. Il apparait ainsi 
que parmi les diff\'erentes mani\`eres d'introduire les op\'erateurs en question, 
il en existe une, issue des travaux de Demazure, qui est vraiment 
intrins\`eque au contexte cohomologique.

Par ailleurs, l'explicitation des coefficients $R_\zeta (\Delta\partial_\mu)$ par 
A.Arabia est donn\'ee \`a partir d'une \lq\lq d\'esingularisation" des 
vari\'et\'es de Schubert ce qui fait que ses calculs ne sont vraiment 
intrins\`eques que dans le cas lisse (p.e. si $\mu$ est le produit de 
r\'eflexions simples deux-\`a-deux distinctes ou pour l'\'el\'ement du groupe 
de Weyl de plus grande longueur en dimension finie), mais alors 
l'interpr\'etation de ces fonctions rationnelles en cohomologie \'equivariante 
r\'esulte de l'\'etude faite dans Atiyah-Bott ({\it The Moment Map and 
Equivariant Cohomology}, Topology {\bf 23} (1984) 1-28 ), et m\^eme 
s\^urement avant, o\`u ces coefficients ont \'et\'e identifi\'es comme \'etant 
les analogues \'equivariants des classes d'Euler des sous-vari\'et\'es de 
points fixes, r\'esultat red\'ecouvert par Berline-Vergne 
({\it Fourier transforms of orbits of the coadjoint 
representation}, Proceedings of the conference on \lq\lq Representation of 
reductive groups", Park City, Utah, 1982) dans le contexte de la 
g\'eom\'etrie diff\'erentielle et lorsque les points fixes sont isol\'es.
Un regard attentif montre que la seule justification que l'on puisse 
fournir du fait que ces invariants sont de nature cohomologique, dans 
les cas singuliers et \`a partir des travaux de Arabia, provient 
exclusivement de l'isomorphisme d'Atiyah-Segal, mais ceci \'etait connu 
bien avant lui.

En fait, ce qu'il faudrait dire, c'est que les travaux de Berline-Vergne 
{\bf [Be-Ve]}, Arabia {\bf [Ara2,3]} et Kostant-Kumar 
{\bf [Ko-Ku2]}, dans cet ordre chronologique-l\`a, ont tr\`es fortement 
sugg\'er\'e que les coefficients $R_\zeta (\Delta \partial_\mu)$ devaient, dans tous les cas,
 aussi bien r\'egulier que singulier, s'interpr\'eter comme des invariants 
g\'eom\'etriques, voire topologique, et qu'une d\'efinition intrins\`eque devait 
exister. C'est cette id\'ee qui est \`a la base de la th\'eorie d\'evelopp\'ee par 
Rossmann qui donne une d\'efinition des {\it multiplicit\'es \'equivariantes} 
dans le contexte de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique.


\vskip 5mm



\centerline{\bf REFERENCES}

\vskip 3mm
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